Mathématiques de base Exemples

$\frac{15 + 2 y - y^{2}}{3 y^{2} - 16 y + 5}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $15$ comme $16$ plus $- 1$

$\frac{16 - 1 + 2 y - y^{2}}{3 y^{2} - 16 y + 5}$

Étape 1.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{16 - (1^{2} - 2 y + y^{2})}{3 y^{2} - 16 y + 5}$

Étape 1.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 y = 2 \cdot 1 \cdot y$

Étape 1.2.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{16 - (1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot y + y^{2})}{3 y^{2} - 16 y + 5}$

Étape 1.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = 1$ et $b = y$ .

$\frac{16 - {(1 - y)}^{2}}{3 y^{2} - 16 y + 5}$

Étape 1.3

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{4^{2} - {(1 - y)}^{2}}{3 y^{2} - 16 y + 5}$

Étape 1.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 4$ et $b = 1 - y$ .

$\frac{(4 + 1 - y) (4 - (1 - y))}{3 y^{2} - 16 y + 5}$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Additionnez $4$ et $1$ .

$\frac{(5 - y) (4 - (1 - y))}{3 y^{2} - 16 y + 5}$

Étape 1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(5 - y) (4 - 1 \cdot 1 - - y)}{3 y^{2} - 16 y + 5}$

Étape 1.5.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{(5 - y) (4 - 1 - - y)}{3 y^{2} - 16 y + 5}$

Étape 1.5.4

Multipliez $- - y$ .

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Étape 1.5.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{(5 - y) (4 - 1 + 1 y)}{3 y^{2} - 16 y + 5}$

Étape 1.5.4.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$\frac{(5 - y) (4 - 1 + y)}{3 y^{2} - 16 y + 5}$

Étape 1.5.5

Soustrayez $1$ de $4$ .

$\frac{(5 - y) (3 + y)}{3 y^{2} - 16 y + 5}$

Étape 2

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot 5 = 15$ et dont la somme est $b = - 16$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $- 16$ à partir de $- 16 y$ .

$\frac{(5 - y) (3 + y)}{3 y^{2} - 16 (y) + 5}$

Étape 2.1.2

Réécrivez $- 16$ comme $- 1$ plus $- 15$

$\frac{(5 - y) (3 + y)}{3 y^{2} + (- 1 - 15) y + 5}$

Étape 2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(5 - y) (3 + y)}{3 y^{2} - 1 y - 15 y + 5}$

Étape 2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(5 - y) (3 + y)}{(3 y^{2} - 1 y) - 15 y + 5}$

Étape 2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{(5 - y) (3 + y)}{y (3 y - 1) - 5 (3 y - 1)}$

Étape 2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 y - 1$ .

$\frac{(5 - y) (3 + y)}{(3 y - 1) (y - 5)}$

Étape 3

Annulez le facteur commun à $5 - y$ et $y - 5$ .

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Étape 3.1

Réécrivez $5$ comme $- 1 (- 5)$ .

$\frac{(- 1 (- 5) - y) (3 + y)}{(3 y - 1) (y - 5)}$

Étape 3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- y$ .

$\frac{(- 1 (- 5) - (y)) (3 + y)}{(3 y - 1) (y - 5)}$

Étape 3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- 5) - (y)$ .

$\frac{- 1 (- 5 + y) (3 + y)}{(3 y - 1) (y - 5)}$

Étape 3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 1 (y - 5) (3 + y)}{(3 y - 1) (y - 5)}$

Étape 3.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1 (y - 5) (3 + y)}{(3 y - 1) (y - 5)}$

Étape 3.6

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1 (3 + y)}{3 y - 1}$

Étape 4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3 + y}{3 y - 1}$