Mathématiques de base Exemples

$(\sqrt{8 a^{3}} + \sqrt{5 b^{7}}) \div (\sqrt{13 a^{3}} - \sqrt{17 b^{7}})$

Étape 1

Réécrivez la division comme une fraction.

$\frac{\sqrt{8 a^{3}} + \sqrt{5 b^{7}}}{\sqrt{13 a^{3}} - \sqrt{17 b^{7}}}$

Étape 2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1

Réécrivez $8 a^{3}$ comme ${(2 a)}^{2} \cdot (2 a)$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{\sqrt{4 (2) a^{3}} + \sqrt{5 b^{7}}}{\sqrt{13 a^{3}} - \sqrt{17 b^{7}}}$

Étape 2.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2 a^{3}} + \sqrt{5 b^{7}}}{\sqrt{13 a^{3}} - \sqrt{17 b^{7}}}$

Étape 2.1.3

Factorisez $a^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2 (a^{2} a)} + \sqrt{5 b^{7}}}{\sqrt{13 a^{3}} - \sqrt{17 b^{7}}}$

Étape 2.1.4

Déplacez $2$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} a^{2} \cdot 2 a} + \sqrt{5 b^{7}}}{\sqrt{13 a^{3}} - \sqrt{17 b^{7}}}$

Étape 2.1.5

Réécrivez $2^{2} a^{2}$ comme ${(2 a)}^{2}$ .

$\frac{\sqrt{{(2 a)}^{2} \cdot 2 a} + \sqrt{5 b^{7}}}{\sqrt{13 a^{3}} - \sqrt{17 b^{7}}}$

Étape 2.1.6

Ajoutez des parenthèses.

$\frac{\sqrt{{(2 a)}^{2} \cdot (2 a)} + \sqrt{5 b^{7}}}{\sqrt{13 a^{3}} - \sqrt{17 b^{7}}}$

Étape 2.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{2 a \sqrt{2 a} + \sqrt{5 b^{7}}}{\sqrt{13 a^{3}} - \sqrt{17 b^{7}}}$

Étape 2.3

Réécrivez $5 b^{7}$ comme ${(b^{3})}^{2} \cdot (5 b)$ .

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Étape 2.3.1

Factorisez $b^{6}$ .

$\frac{2 a \sqrt{2 a} + \sqrt{5 (b^{6} b)}}{\sqrt{13 a^{3}} - \sqrt{17 b^{7}}}$

Étape 2.3.2

Réécrivez $b^{6}$ comme ${(b^{3})}^{2}$ .

$\frac{2 a \sqrt{2 a} + \sqrt{5 ({(b^{3})}^{2} b)}}{\sqrt{13 a^{3}} - \sqrt{17 b^{7}}}$

Étape 2.3.3

Remettez dans l’ordre $5$ et ${(b^{3})}^{2}$ .

$\frac{2 a \sqrt{2 a} + \sqrt{{(b^{3})}^{2} \cdot 5 b}}{\sqrt{13 a^{3}} - \sqrt{17 b^{7}}}$

Étape 2.3.4

Ajoutez des parenthèses.

$\frac{2 a \sqrt{2 a} + \sqrt{{(b^{3})}^{2} \cdot (5 b)}}{\sqrt{13 a^{3}} - \sqrt{17 b^{7}}}$

Étape 2.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{2 a \sqrt{2 a} + b^{3} \sqrt{5 b}}{\sqrt{13 a^{3}} - \sqrt{17 b^{7}}}$

Étape 3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1

Réécrivez $13 a^{3}$ comme $a^{2} \cdot (13 a)$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $a^{2}$ .

$\frac{2 a \sqrt{2 a} + b^{3} \sqrt{5 b}}{\sqrt{13 (a^{2} a)} - \sqrt{17 b^{7}}}$

Étape 3.1.2

Remettez dans l’ordre $13$ et $a^{2}$ .

$\frac{2 a \sqrt{2 a} + b^{3} \sqrt{5 b}}{\sqrt{a^{2} \cdot 13 a} - \sqrt{17 b^{7}}}$

Étape 3.1.3

Ajoutez des parenthèses.

$\frac{2 a \sqrt{2 a} + b^{3} \sqrt{5 b}}{\sqrt{a^{2} \cdot (13 a)} - \sqrt{17 b^{7}}}$

Étape 3.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{2 a \sqrt{2 a} + b^{3} \sqrt{5 b}}{a \sqrt{13 a} - \sqrt{17 b^{7}}}$

Étape 3.3

Réécrivez $17 b^{7}$ comme ${(b^{3})}^{2} \cdot (17 b)$ .

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Étape 3.3.1

Factorisez $b^{6}$ .

$\frac{2 a \sqrt{2 a} + b^{3} \sqrt{5 b}}{a \sqrt{13 a} - \sqrt{17 (b^{6} b)}}$

Étape 3.3.2

Réécrivez $b^{6}$ comme ${(b^{3})}^{2}$ .

$\frac{2 a \sqrt{2 a} + b^{3} \sqrt{5 b}}{a \sqrt{13 a} - \sqrt{17 ({(b^{3})}^{2} b)}}$

Étape 3.3.3

Remettez dans l’ordre $17$ et ${(b^{3})}^{2}$ .

$\frac{2 a \sqrt{2 a} + b^{3} \sqrt{5 b}}{a \sqrt{13 a} - \sqrt{{(b^{3})}^{2} \cdot 17 b}}$

Étape 3.3.4

Ajoutez des parenthèses.

$\frac{2 a \sqrt{2 a} + b^{3} \sqrt{5 b}}{a \sqrt{13 a} - \sqrt{{(b^{3})}^{2} \cdot (17 b)}}$

Étape 3.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{2 a \sqrt{2 a} + b^{3} \sqrt{5 b}}{a \sqrt{13 a} - b^{3} \sqrt{17 b}}$

Étape 4

Multipliez $\frac{2 a \sqrt{2 a} + b^{3} \sqrt{5 b}}{a \sqrt{13 a} - b^{3} \sqrt{17 b}}$ par $\frac{a \sqrt{13 a} + b^{3} \sqrt{17 b}}{a \sqrt{13 a} + b^{3} \sqrt{17 b}}$ .

$\frac{2 a \sqrt{2 a} + b^{3} \sqrt{5 b}}{a \sqrt{13 a} - b^{3} \sqrt{17 b}} \cdot \frac{a \sqrt{13 a} + b^{3} \sqrt{17 b}}{a \sqrt{13 a} + b^{3} \sqrt{17 b}}$

Étape 5

Associez les fractions.

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Étape 5.1

Multipliez $\frac{2 a \sqrt{2 a} + b^{3} \sqrt{5 b}}{a \sqrt{13 a} - b^{3} \sqrt{17 b}}$ par $\frac{a \sqrt{13 a} + b^{3} \sqrt{17 b}}{a \sqrt{13 a} + b^{3} \sqrt{17 b}}$ .

$\frac{(2 a \sqrt{2 a} + b^{3} \sqrt{5 b}) (a \sqrt{13 a} + b^{3} \sqrt{17 b})}{(a \sqrt{13 a} - b^{3} \sqrt{17 b}) (a \sqrt{13 a} + b^{3} \sqrt{17 b})}$

Étape 5.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(2 a \sqrt{2 a} + b^{3} \sqrt{5 b}) (a \sqrt{13 a} + b^{3} \sqrt{17 b})}{a^{2} {\sqrt{13 a}}^{2} + a (b^{3} \sqrt{221 a b}) - b^{3} (a \sqrt{221 b a}) - b^{6} {\sqrt{17 b}}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Soustrayez $a b^{3} \sqrt{221 a b}$ de $a b^{3} \sqrt{221 a b}$ .

$\frac{(2 a \sqrt{2 a} + b^{3} \sqrt{5 b}) (a \sqrt{13 a} + b^{3} \sqrt{17 b})}{13 a^{3} + 0 - 17 b^{7}}$

Étape 5.3.2

Additionnez $13 a^{3}$ et $0$ .

$\frac{(2 a \sqrt{2 a} + b^{3} \sqrt{5 b}) (a \sqrt{13 a} + b^{3} \sqrt{17 b})}{13 a^{3} - 17 b^{7}}$

Étape 6

Développez $(2 a \sqrt{2 a} + b^{3} \sqrt{5 b}) (a \sqrt{13 a} + b^{3} \sqrt{17 b})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 a \sqrt{2 a} (a \sqrt{13 a} + b^{3} \sqrt{17 b}) + b^{3} \sqrt{5 b} (a \sqrt{13 a} + b^{3} \sqrt{17 b})}{13 a^{3} - 17 b^{7}}$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 a \sqrt{2 a} (a \sqrt{13 a}) + 2 a \sqrt{2 a} (b^{3} \sqrt{17 b}) + b^{3} \sqrt{5 b} (a \sqrt{13 a} + b^{3} \sqrt{17 b})}{13 a^{3} - 17 b^{7}}$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 a \sqrt{2 a} (a \sqrt{13 a}) + 2 a \sqrt{2 a} (b^{3} \sqrt{17 b}) + b^{3} \sqrt{5 b} (a \sqrt{13 a}) + b^{3} \sqrt{5 b} (b^{3} \sqrt{17 b})}{13 a^{3} - 17 b^{7}}$

Étape 7

Simplifiez les termes.

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Étape 7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.1

Multipliez $a$ par $a$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.1.1.1

Déplacez $a$ .

$\frac{2 (a \cdot a) \sqrt{2 a} \sqrt{13 a} + 2 a \sqrt{2 a} (b^{3} \sqrt{17 b}) + b^{3} \sqrt{5 b} (a \sqrt{13 a}) + b^{3} \sqrt{5 b} (b^{3} \sqrt{17 b})}{13 a^{3} - 17 b^{7}}$

Étape 7.1.1.2

Multipliez $a$ par $a$ .

$\frac{2 a^{2} \sqrt{2 a} \sqrt{13 a} + 2 a \sqrt{2 a} (b^{3} \sqrt{17 b}) + b^{3} \sqrt{5 b} (a \sqrt{13 a}) + b^{3} \sqrt{5 b} (b^{3} \sqrt{17 b})}{13 a^{3} - 17 b^{7}}$

Étape 7.1.2

Multipliez $2 a^{2} \sqrt{2 a} \sqrt{13 a}$ .

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Étape 7.1.2.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{2 a^{2} \sqrt{13 a (2 a)} + 2 a \sqrt{2 a} (b^{3} \sqrt{17 b}) + b^{3} \sqrt{5 b} (a \sqrt{13 a}) + b^{3} \sqrt{5 b} (b^{3} \sqrt{17 b})}{13 a^{3} - 17 b^{7}}$

Étape 7.1.2.2

Multipliez $2$ par $13$ .

$\frac{2 a^{2} \sqrt{26 a \cdot a} + 2 a \sqrt{2 a} (b^{3} \sqrt{17 b}) + b^{3} \sqrt{5 b} (a \sqrt{13 a}) + b^{3} \sqrt{5 b} (b^{3} \sqrt{17 b})}{13 a^{3} - 17 b^{7}}$

Étape 7.1.2.3

Élevez $a$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 a^{2} \sqrt{26 (a^{1} a)} + 2 a \sqrt{2 a} (b^{3} \sqrt{17 b}) + b^{3} \sqrt{5 b} (a \sqrt{13 a}) + b^{3} \sqrt{5 b} (b^{3} \sqrt{17 b})}{13 a^{3} - 17 b^{7}}$

Étape 7.1.2.4

Élevez $a$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 a^{2} \sqrt{26 (a^{1} a^{1})} + 2 a \sqrt{2 a} (b^{3} \sqrt{17 b}) + b^{3} \sqrt{5 b} (a \sqrt{13 a}) + b^{3} \sqrt{5 b} (b^{3} \sqrt{17 b})}{13 a^{3} - 17 b^{7}}$

Étape 7.1.2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 a^{2} \sqrt{26 a^{1 + 1}} + 2 a \sqrt{2 a} (b^{3} \sqrt{17 b}) + b^{3} \sqrt{5 b} (a \sqrt{13 a}) + b^{3} \sqrt{5 b} (b^{3} \sqrt{17 b})}{13 a^{3} - 17 b^{7}}$

Étape 7.1.2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 a^{2} \sqrt{26 a^{2}} + 2 a \sqrt{2 a} (b^{3} \sqrt{17 b}) + b^{3} \sqrt{5 b} (a \sqrt{13 a}) + b^{3} \sqrt{5 b} (b^{3} \sqrt{17 b})}{13 a^{3} - 17 b^{7}}$

Étape 7.1.3

Remettez dans l’ordre $26$ et $a^{2}$ .

$\frac{2 a^{2} \sqrt{a^{2} \cdot 26} + 2 a \sqrt{2 a} (b^{3} \sqrt{17 b}) + b^{3} \sqrt{5 b} (a \sqrt{13 a}) + b^{3} \sqrt{5 b} (b^{3} \sqrt{17 b})}{13 a^{3} - 17 b^{7}}$

Étape 7.1.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{2 a^{2} (a \sqrt{26}) + 2 a \sqrt{2 a} (b^{3} \sqrt{17 b}) + b^{3} \sqrt{5 b} (a \sqrt{13 a}) + b^{3} \sqrt{5 b} (b^{3} \sqrt{17 b})}{13 a^{3} - 17 b^{7}}$

Étape 7.1.5

Multipliez $a^{2}$ par $a$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.1.5.1

Déplacez $a$ .

$\frac{2 (a \cdot a^{2}) \sqrt{26} + 2 a \sqrt{2 a} (b^{3} \sqrt{17 b}) + b^{3} \sqrt{5 b} (a \sqrt{13 a}) + b^{3} \sqrt{5 b} (b^{3} \sqrt{17 b})}{13 a^{3} - 17 b^{7}}$

Étape 7.1.5.2

Multipliez $a$ par $a^{2}$ .

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Étape 7.1.5.2.1

Élevez $a$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (a^{1} a^{2}) \sqrt{26} + 2 a \sqrt{2 a} (b^{3} \sqrt{17 b}) + b^{3} \sqrt{5 b} (a \sqrt{13 a}) + b^{3} \sqrt{5 b} (b^{3} \sqrt{17 b})}{13 a^{3} - 17 b^{7}}$

Étape 7.1.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 a^{1 + 2} \sqrt{26} + 2 a \sqrt{2 a} (b^{3} \sqrt{17 b}) + b^{3} \sqrt{5 b} (a \sqrt{13 a}) + b^{3} \sqrt{5 b} (b^{3} \sqrt{17 b})}{13 a^{3} - 17 b^{7}}$

Étape 7.1.5.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 a^{3} \sqrt{26} + 2 a \sqrt{2 a} (b^{3} \sqrt{17 b}) + b^{3} \sqrt{5 b} (a \sqrt{13 a}) + b^{3} \sqrt{5 b} (b^{3} \sqrt{17 b})}{13 a^{3} - 17 b^{7}}$

Étape 7.1.6

Multipliez $2 a \sqrt{2 a} (b^{3} \sqrt{17 b})$ .

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Étape 7.1.6.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{2 a^{3} \sqrt{26} + 2 a (b^{3} \sqrt{2 a (17 b)}) + b^{3} \sqrt{5 b} (a \sqrt{13 a}) + b^{3} \sqrt{5 b} (b^{3} \sqrt{17 b})}{13 a^{3} - 17 b^{7}}$

Étape 7.1.6.2

Multipliez $17$ par $2$ .

$\frac{2 a^{3} \sqrt{26} + 2 a (b^{3} \sqrt{34 a b}) + b^{3} \sqrt{5 b} (a \sqrt{13 a}) + b^{3} \sqrt{5 b} (b^{3} \sqrt{17 b})}{13 a^{3} - 17 b^{7}}$

Étape 7.1.7

Multipliez $b^{3} \sqrt{5 b} (a \sqrt{13 a})$ .

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Étape 7.1.7.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{2 a^{3} \sqrt{26} + 2 a (b^{3} \sqrt{34 a b}) + b^{3} (a \sqrt{5 b (13 a)}) + b^{3} \sqrt{5 b} (b^{3} \sqrt{17 b})}{13 a^{3} - 17 b^{7}}$

Étape 7.1.7.2

Multipliez $13$ par $5$ .

$\frac{2 a^{3} \sqrt{26} + 2 a (b^{3} \sqrt{34 a b}) + b^{3} (a \sqrt{65 b a}) + b^{3} \sqrt{5 b} (b^{3} \sqrt{17 b})}{13 a^{3} - 17 b^{7}}$

Étape 7.1.8

Multipliez $b^{3}$ par $b^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.1.8.1

Déplacez $b^{3}$ .

$\frac{2 a^{3} \sqrt{26} + 2 a (b^{3} \sqrt{34 a b}) + b^{3} (a \sqrt{65 b a}) + b^{3} b^{3} \sqrt{5 b} \sqrt{17 b}}{13 a^{3} - 17 b^{7}}$

Étape 7.1.8.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 a^{3} \sqrt{26} + 2 a (b^{3} \sqrt{34 a b}) + b^{3} (a \sqrt{65 b a}) + b^{3 + 3} \sqrt{5 b} \sqrt{17 b}}{13 a^{3} - 17 b^{7}}$

Étape 7.1.8.3

Additionnez $3$ et $3$ .

$\frac{2 a^{3} \sqrt{26} + 2 a (b^{3} \sqrt{34 a b}) + b^{3} (a \sqrt{65 b a}) + b^{6} \sqrt{5 b} \sqrt{17 b}}{13 a^{3} - 17 b^{7}}$

Étape 7.1.9

Multipliez $b^{6} \sqrt{5 b} \sqrt{17 b}$ .

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Étape 7.1.9.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{2 a^{3} \sqrt{26} + 2 a (b^{3} \sqrt{34 a b}) + b^{3} (a \sqrt{65 b a}) + b^{6} \sqrt{17 b (5 b)}}{13 a^{3} - 17 b^{7}}$

Étape 7.1.9.2

Multipliez $5$ par $17$ .

$\frac{2 a^{3} \sqrt{26} + 2 a (b^{3} \sqrt{34 a b}) + b^{3} (a \sqrt{65 b a}) + b^{6} \sqrt{85 b \cdot b}}{13 a^{3} - 17 b^{7}}$

Étape 7.1.9.3

Élevez $b$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 a^{3} \sqrt{26} + 2 a (b^{3} \sqrt{34 a b}) + b^{3} (a \sqrt{65 b a}) + b^{6} \sqrt{85 (b^{1} b)}}{13 a^{3} - 17 b^{7}}$

Étape 7.1.9.4

Élevez $b$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 a^{3} \sqrt{26} + 2 a (b^{3} \sqrt{34 a b}) + b^{3} (a \sqrt{65 b a}) + b^{6} \sqrt{85 (b^{1} b^{1})}}{13 a^{3} - 17 b^{7}}$

Étape 7.1.9.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 a^{3} \sqrt{26} + 2 a (b^{3} \sqrt{34 a b}) + b^{3} (a \sqrt{65 b a}) + b^{6} \sqrt{85 b^{1 + 1}}}{13 a^{3} - 17 b^{7}}$

Étape 7.1.9.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 a^{3} \sqrt{26} + 2 a (b^{3} \sqrt{34 a b}) + b^{3} (a \sqrt{65 b a}) + b^{6} \sqrt{85 b^{2}}}{13 a^{3} - 17 b^{7}}$

Étape 7.1.10

Remettez dans l’ordre $85$ et $b^{2}$ .

$\frac{2 a^{3} \sqrt{26} + 2 a (b^{3} \sqrt{34 a b}) + b^{3} (a \sqrt{65 b a}) + b^{6} \sqrt{b^{2} \cdot 85}}{13 a^{3} - 17 b^{7}}$

Étape 7.1.11

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{2 a^{3} \sqrt{26} + 2 a (b^{3} \sqrt{34 a b}) + b^{3} (a \sqrt{65 b a}) + b^{6} (b \sqrt{85})}{13 a^{3} - 17 b^{7}}$

Étape 7.1.12

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 a^{3} \sqrt{26} + 2 a (b^{3} \sqrt{34 a b}) + b^{3} (a \sqrt{65 b a}) + \sqrt{85} b^{6} b}{13 a^{3} - 17 b^{7}}$

Étape 7.1.13

Multipliez $b^{6}$ par $b$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.1.13.1

Déplacez $b$ .

$\frac{2 a^{3} \sqrt{26} + 2 a (b^{3} \sqrt{34 a b}) + b^{3} (a \sqrt{65 b a}) + \sqrt{85} (b \cdot b^{6})}{13 a^{3} - 17 b^{7}}$

Étape 7.1.13.2

Multipliez $b$ par $b^{6}$ .

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Étape 7.1.13.2.1

Élevez $b$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 a^{3} \sqrt{26} + 2 a (b^{3} \sqrt{34 a b}) + b^{3} (a \sqrt{65 b a}) + \sqrt{85} (b^{1} b^{6})}{13 a^{3} - 17 b^{7}}$

Étape 7.1.13.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 a^{3} \sqrt{26} + 2 a (b^{3} \sqrt{34 a b}) + b^{3} (a \sqrt{65 b a}) + \sqrt{85} b^{1 + 6}}{13 a^{3} - 17 b^{7}}$

Étape 7.1.13.3

Additionnez $1$ et $6$ .

$\frac{2 a^{3} \sqrt{26} + 2 a (b^{3} \sqrt{34 a b}) + b^{3} (a \sqrt{65 b a}) + \sqrt{85} b^{7}}{13 a^{3} - 17 b^{7}}$

Étape 7.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2 a^{3} \sqrt{26} + 2 a (b^{3} \sqrt{34 a b}) + b^{3} (a \sqrt{65 b a}) + \sqrt{85} b^{7}$ .

$\frac{2 a^{3} \sqrt{26} + 2 a b^{3} \sqrt{34 a b} + b^{3} a \sqrt{65 b a} + \sqrt{85} b^{7}}{13 a^{3} - 17 b^{7}}$