Mathématiques de base Exemples

$\frac{(a + b) (\frac{1}{a} - \frac{1}{b})}{\frac{1}{b^{2}} - \frac{1}{a^{2}}}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Pour écrire $\frac{1}{a}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{b}{b}$ .

$\frac{(a + b) (\frac{1}{a} \cdot \frac{b}{b} - \frac{1}{b})}{\frac{1}{b^{2}} - \frac{1}{a^{2}}}$

Étape 1.2

Pour écrire $- \frac{1}{b}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{a}{a}$ .

$\frac{(a + b) (\frac{1}{a} \cdot \frac{b}{b} - \frac{1}{b} \cdot \frac{a}{a})}{\frac{1}{b^{2}} - \frac{1}{a^{2}}}$

Étape 1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $a b$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.3.1

Multipliez $\frac{1}{a}$ par $\frac{b}{b}$ .

$\frac{(a + b) (\frac{b}{a b} - \frac{1}{b} \cdot \frac{a}{a})}{\frac{1}{b^{2}} - \frac{1}{a^{2}}}$

Étape 1.3.2

Multipliez $\frac{1}{b}$ par $\frac{a}{a}$ .

$\frac{(a + b) (\frac{b}{a b} - \frac{a}{b a})}{\frac{1}{b^{2}} - \frac{1}{a^{2}}}$

Étape 1.3.3

Réorganisez les facteurs de $b a$ .

$\frac{(a + b) (\frac{b}{a b} - \frac{a}{a b})}{\frac{1}{b^{2}} - \frac{1}{a^{2}}}$

Étape 1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(a + b) \frac{b - a}{a b}}{\frac{1}{b^{2}} - \frac{1}{a^{2}}}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Pour écrire $\frac{1}{b^{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{a^{2}}{a^{2}}$ .

$\frac{(a + b) \frac{b - a}{a b}}{\frac{1}{b^{2}} \cdot \frac{a^{2}}{a^{2}} - \frac{1}{a^{2}}}$

Étape 2.2

Pour écrire $- \frac{1}{a^{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{b^{2}}{b^{2}}$ .

$\frac{(a + b) \frac{b - a}{a b}}{\frac{1}{b^{2}} \cdot \frac{a^{2}}{a^{2}} - \frac{1}{a^{2}} \cdot \frac{b^{2}}{b^{2}}}$

Étape 2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $b^{2} a^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.3.1

Multipliez $\frac{1}{b^{2}}$ par $\frac{a^{2}}{a^{2}}$ .

$\frac{(a + b) \frac{b - a}{a b}}{\frac{a^{2}}{b^{2} a^{2}} - \frac{1}{a^{2}} \cdot \frac{b^{2}}{b^{2}}}$

Étape 2.3.2

Multipliez $\frac{1}{a^{2}}$ par $\frac{b^{2}}{b^{2}}$ .

$\frac{(a + b) \frac{b - a}{a b}}{\frac{a^{2}}{b^{2} a^{2}} - \frac{b^{2}}{a^{2} b^{2}}}$

Étape 2.3.3

Réorganisez les facteurs de $b^{2} a^{2}$ .

$\frac{(a + b) \frac{b - a}{a b}}{\frac{a^{2}}{a^{2} b^{2}} - \frac{b^{2}}{a^{2} b^{2}}}$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(a + b) \frac{b - a}{a b}}{\frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2} b^{2}}}$

Étape 2.5

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = a$ et $b = b$ .

$\frac{(a + b) \frac{b - a}{a b}}{\frac{(a + b) (a - b)}{a^{2} b^{2}}}$

Étape 3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$(a + b) \frac{b - a}{a b} \frac{a^{2} b^{2}}{(a + b) (a - b)}$

Étape 4

Annulez le facteur commun de $a + b$ .

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun.

$(a + b) \frac{b - a}{a b} \frac{a^{2} b^{2}}{(a + b) (a - b)}$

Étape 4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{b - a}{a b} \cdot \frac{a^{2} b^{2}}{a - b}$

Étape 5

Multipliez $\frac{b - a}{a b}$ par $\frac{a^{2} b^{2}}{a - b}$ .

$\frac{(b - a) (a^{2} b^{2})}{a b (a - b)}$

Étape 6

Annulez le facteur commun à $a^{2}$ et $a$ .

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Étape 6.1

Factorisez $a$ à partir de $(b - a) (a^{2} b^{2})$ .

$\frac{a ((b - a) (a b^{2}))}{a b (a - b)}$

Étape 6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.1

Factorisez $a$ à partir de $a b (a - b)$ .

$\frac{a ((b - a) (a b^{2}))}{a (b (a - b))}$

Étape 6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{a ((b - a) (a b^{2}))}{a (b (a - b))}$

Étape 6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(b - a) (a b^{2})}{b (a - b)}$

Étape 7

Annulez le facteur commun à $b^{2}$ et $b$ .

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Étape 7.1

Factorisez $b$ à partir de $(b - a) (a b^{2})$ .

$\frac{b ((b - a) (a b))}{b (a - b)}$

Étape 7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{b ((b - a) (a b))}{b (a - b)}$

Étape 7.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(b - a) (a b)}{a - b}$

Étape 8

Annulez le facteur commun à $b - a$ et $a - b$ .

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Étape 8.1

Factorisez $- 1$ à partir de $b$ .

$\frac{(- 1 (- b) - a) (a b)}{a - b}$

Étape 8.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- a$ .

$\frac{(- 1 (- b) - (a)) (a b)}{a - b}$

Étape 8.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- b) - (a)$ .

$\frac{- 1 (- b + a) (a b)}{a - b}$

Étape 8.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 1 (a - b) (a b)}{a - b}$

Étape 8.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1 (a - b) (a b)}{a - b}$

Étape 8.6

Divisez $- 1 (a b)$ par $1$ .

$- 1 (a b)$

Étape 9

Réécrivez $- 1 (a b)$ comme $- (a b)$ .

$- a b$