Mathématiques de base Exemples

${(a + \sqrt{2})}^{4}$

Étape 1

Utilisez le théorème du binôme.

$a^{4} + 4 a^{3} \sqrt{2} + 6 a^{2} {\sqrt{2}}^{2} + 4 a {\sqrt{2}}^{3} + {\sqrt{2}}^{4}$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 2.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$a^{4} + 4 a^{3} \sqrt{2} + 6 a^{2} {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4 a {\sqrt{2}}^{3} + {\sqrt{2}}^{4}$

Étape 2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a^{4} + 4 a^{3} \sqrt{2} + 6 a^{2} \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4 a {\sqrt{2}}^{3} + {\sqrt{2}}^{4}$

Étape 2.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$a^{4} + 4 a^{3} \sqrt{2} + 6 a^{2} \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 4 a {\sqrt{2}}^{3} + {\sqrt{2}}^{4}$

Étape 2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$a^{4} + 4 a^{3} \sqrt{2} + 6 a^{2} \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 4 a {\sqrt{2}}^{3} + {\sqrt{2}}^{4}$

Étape 2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$a^{4} + 4 a^{3} \sqrt{2} + 6 a^{2} \cdot 2^{1} + 4 a {\sqrt{2}}^{3} + {\sqrt{2}}^{4}$

Étape 2.1.5

Évaluez l’exposant.

$a^{4} + 4 a^{3} \sqrt{2} + 6 a^{2} \cdot 2 + 4 a {\sqrt{2}}^{3} + {\sqrt{2}}^{4}$

Étape 2.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$a^{4} + 4 a^{3} \sqrt{2} + 12 a^{2} + 4 a {\sqrt{2}}^{3} + {\sqrt{2}}^{4}$

Étape 2.3

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{3}$ comme $\sqrt{2^{3}}$ .

$a^{4} + 4 a^{3} \sqrt{2} + 12 a^{2} + 4 a \sqrt{2^{3}} + {\sqrt{2}}^{4}$

Étape 2.4

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$a^{4} + 4 a^{3} \sqrt{2} + 12 a^{2} + 4 a \sqrt{8} + {\sqrt{2}}^{4}$

Étape 2.5

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 2.5.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$a^{4} + 4 a^{3} \sqrt{2} + 12 a^{2} + 4 a \sqrt{4 (2)} + {\sqrt{2}}^{4}$

Étape 2.5.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$a^{4} + 4 a^{3} \sqrt{2} + 12 a^{2} + 4 a \sqrt{2^{2} \cdot 2} + {\sqrt{2}}^{4}$

Étape 2.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$a^{4} + 4 a^{3} \sqrt{2} + 12 a^{2} + 4 a (2 \sqrt{2}) + {\sqrt{2}}^{4}$

Étape 2.7

Multipliez $2$ par $4$ .

$a^{4} + 4 a^{3} \sqrt{2} + 12 a^{2} + 8 a \sqrt{2} + {\sqrt{2}}^{4}$

Étape 2.8

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{4}$ comme $2^{2}$ .

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Étape 2.8.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$a^{4} + 4 a^{3} \sqrt{2} + 12 a^{2} + 8 a \sqrt{2} + {(2^{\frac{1}{2}})}^{4}$

Étape 2.8.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a^{4} + 4 a^{3} \sqrt{2} + 12 a^{2} + 8 a \sqrt{2} + 2^{\frac{1}{2} \cdot 4}$

Étape 2.8.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$a^{4} + 4 a^{3} \sqrt{2} + 12 a^{2} + 8 a \sqrt{2} + 2^{\frac{4}{2}}$

Étape 2.8.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 2.8.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$a^{4} + 4 a^{3} \sqrt{2} + 12 a^{2} + 8 a \sqrt{2} + 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}}$

Étape 2.8.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.8.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$a^{4} + 4 a^{3} \sqrt{2} + 12 a^{2} + 8 a \sqrt{2} + 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}$

Étape 2.8.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$a^{4} + 4 a^{3} \sqrt{2} + 12 a^{2} + 8 a \sqrt{2} + 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}$

Étape 2.8.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$a^{4} + 4 a^{3} \sqrt{2} + 12 a^{2} + 8 a \sqrt{2} + 2^{\frac{2}{1}}$

Étape 2.8.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$a^{4} + 4 a^{3} \sqrt{2} + 12 a^{2} + 8 a \sqrt{2} + 2^{2}$

Étape 2.9

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$a^{4} + 4 a^{3} \sqrt{2} + 12 a^{2} + 8 a \sqrt{2} + 4$