Mathématiques de base Exemples

$\frac{{(a + b)}^{3} + {(a - b)}^{3}}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = a + b$ et $b = a - b$ .

$\frac{(a + b + a - b) ({(a + b)}^{2} - (a + b) (a - b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Additionnez $a$ et $a$ .

$\frac{(2 a + b - b) ({(a + b)}^{2} - (a + b) (a - b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Étape 1.2.2

Soustrayez $b$ de $b$ .

$\frac{(2 a + 0) ({(a + b)}^{2} - (a + b) (a - b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Étape 1.2.3

Additionnez $2 a$ et $0$ .

$\frac{2 a ({(a + b)}^{2} - (a + b) (a - b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Étape 1.2.4

Réécrivez ${(a + b)}^{2}$ comme $(a + b) (a + b)$ .

$\frac{2 a ((a + b) (a + b) - (a + b) (a - b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Étape 1.2.5

Développez $(a + b) (a + b)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 a (a (a + b) + b (a + b) - (a + b) (a - b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Étape 1.2.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 a (a \cdot a + a b + b (a + b) - (a + b) (a - b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Étape 1.2.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 a (a \cdot a + a b + b a + b \cdot b - (a + b) (a - b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Étape 1.2.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.2.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.6.1.1

Multipliez $a$ par $a$ .

$\frac{2 a (a^{2} + a b + b a + b \cdot b - (a + b) (a - b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Étape 1.2.6.1.2

Multipliez $b$ par $b$ .

$\frac{2 a (a^{2} + a b + b a + b^{2} - (a + b) (a - b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Étape 1.2.6.2

Additionnez $a b$ et $b a$ .

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Étape 1.2.6.2.1

Remettez dans l’ordre $b$ et $a$ .

$\frac{2 a (a^{2} + a b + a b + b^{2} - (a + b) (a - b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Étape 1.2.6.2.2

Additionnez $a b$ et $a b$ .

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - (a + b) (a - b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Étape 1.2.7

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} + (- a - b) (a - b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Étape 1.2.8

Développez $(- a - b) (a - b)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a (a - b) - b (a - b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Étape 1.2.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a \cdot a - a (- b) - b (a - b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Étape 1.2.8.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a \cdot a - a (- b) - b a - b (- b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Étape 1.2.9

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.2.9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.9.1.1

Multipliez $a$ par $a$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.9.1.1.1

Déplacez $a$ .

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - (a \cdot a) - a (- b) - b a - b (- b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Étape 1.2.9.1.1.2

Multipliez $a$ par $a$ .

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} - a (- b) - b a - b (- b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Étape 1.2.9.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} - 1 \cdot - 1 a b - b a - b (- b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Étape 1.2.9.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + 1 a b - b a - b (- b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Étape 1.2.9.1.4

Multipliez $a$ par $1$ .

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + a b - b a - b (- b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Étape 1.2.9.1.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + a b - b a - 1 \cdot - 1 b \cdot b + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Étape 1.2.9.1.6

Multipliez $b$ par $b$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.9.1.6.1

Déplacez $b$ .

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + a b - b a - 1 \cdot - 1 (b \cdot b) + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Étape 1.2.9.1.6.2

Multipliez $b$ par $b$ .

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + a b - b a - 1 \cdot - 1 b^{2} + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Étape 1.2.9.1.7

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + a b - b a + 1 b^{2} + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Étape 1.2.9.1.8

Multipliez $b^{2}$ par $1$ .

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + a b - b a + b^{2} + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Étape 1.2.9.2

Soustrayez $b a$ de $a b$ .

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Étape 1.2.9.2.1

Déplacez $b$ .

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + a b - 1 a b + b^{2} + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Étape 1.2.9.2.2

Soustrayez $a b$ de $a b$ .

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + 0 + b^{2} + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Étape 1.2.9.3

Additionnez $- a^{2}$ et $0$ .

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + b^{2} + {(a - b)}^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Étape 1.2.10

Réécrivez ${(a - b)}^{2}$ comme $(a - b) (a - b)$ .

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + b^{2} + (a - b) (a - b))}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Étape 1.2.11

Développez $(a - b) (a - b)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + b^{2} + a (a - b) - b (a - b))}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Étape 1.2.11.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + b^{2} + a \cdot a + a (- b) - b (a - b))}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Étape 1.2.11.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + b^{2} + a \cdot a + a (- b) - b a - b (- b))}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Étape 1.2.12

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.2.12.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.12.1.1

Multipliez $a$ par $a$ .

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + b^{2} + a^{2} + a (- b) - b a - b (- b))}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Étape 1.2.12.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + b^{2} + a^{2} - a b - b a - b (- b))}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Étape 1.2.12.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + b^{2} + a^{2} - a b - b a - 1 \cdot - 1 b \cdot b)}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Étape 1.2.12.1.4

Multipliez $b$ par $b$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.12.1.4.1

Déplacez $b$ .

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + b^{2} + a^{2} - a b - b a - 1 \cdot - 1 (b \cdot b))}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Étape 1.2.12.1.4.2

Multipliez $b$ par $b$ .

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + b^{2} + a^{2} - a b - b a - 1 \cdot - 1 b^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Étape 1.2.12.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + b^{2} + a^{2} - a b - b a + 1 b^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Étape 1.2.12.1.6

Multipliez $b^{2}$ par $1$ .

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + b^{2} + a^{2} - a b - b a + b^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Étape 1.2.12.2

Soustrayez $b a$ de $- a b$ .

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Étape 1.2.12.2.1

Déplacez $b$ .

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + b^{2} + a^{2} - a b - 1 a b + b^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Étape 1.2.12.2.2

Soustrayez $a b$ de $- a b$ .

$\frac{2 a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + b^{2} + a^{2} - 2 a b + b^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Étape 1.2.13

Soustrayez $a^{2}$ de $a^{2}$ .

$\frac{2 a (2 a b + b^{2} + 0 + b^{2} + a^{2} - 2 a b + b^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Étape 1.2.14

Additionnez $2 a b$ et $0$ .

$\frac{2 a (b^{2} + 2 a b + b^{2} + a^{2} - 2 a b + b^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Étape 1.2.15

Additionnez $b^{2}$ et $b^{2}$ .

$\frac{2 a (2 b^{2} + 2 a b + a^{2} - 2 a b + b^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Étape 1.2.16

Additionnez $2 b^{2}$ et $b^{2}$ .

$\frac{2 a (3 b^{2} + 2 a b + a^{2} - 2 a b)}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Étape 1.2.17

Soustrayez $2 a b$ de $2 a b$ .

$\frac{2 a (3 b^{2} + a^{2} + 0)}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Étape 1.2.18

Additionnez $3 b^{2} + a^{2}$ et $0$ .

$\frac{2 a (3 b^{2} + a^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Étape 2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 2.1

Annulez le facteur commun de $a$ .

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Étape 2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 a (3 b^{2} + a^{2})}{a (a^{2} + 3 b^{2})}$

Étape 2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (3 b^{2} + a^{2})}{a^{2} + 3 b^{2}}$

Étape 2.2

Annulez le facteur commun à $3 b^{2} + a^{2}$ et $a^{2} + 3 b^{2}$ .

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Étape 2.2.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2 (a^{2} + 3 b^{2})}{a^{2} + 3 b^{2}}$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (a^{2} + 3 b^{2})}{a^{2} + 3 b^{2}}$

Étape 2.2.3

Divisez $2$ par $1$ .

$2$