Mathématiques de base Exemples

$\frac{\frac{y^{2} - 10 y + 25}{y^{2} - 2 y - 35}}{\frac{y^{2} - 25}{9}}$

Étape 1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{y^{2} - 10 y + 25}{y^{2} - 2 y - 35} \cdot \frac{9}{y^{2} - 25}$

Étape 2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{y^{2} - 10 y + 5^{2}}{y^{2} - 2 y - 35} \cdot \frac{9}{y^{2} - 25}$

Étape 2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$10 y = 2 \cdot y \cdot 5$

Étape 2.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{y^{2} - 2 \cdot y \cdot 5 + 5^{2}}{y^{2} - 2 y - 35} \cdot \frac{9}{y^{2} - 25}$

Étape 2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = y$ et $b = 5$ .

$\frac{{(y - 5)}^{2}}{y^{2} - 2 y - 35} \cdot \frac{9}{y^{2} - 25}$

Étape 3

Factorisez $y^{2} - 2 y - 35$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 35$ et dont la somme est $- 2$ .

$- 7, 5$

Étape 3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{{(y - 5)}^{2}}{(y - 7) (y + 5)} \cdot \frac{9}{y^{2} - 25}$

Étape 4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{{(y - 5)}^{2}}{(y - 7) (y + 5)} \cdot \frac{9}{y^{2} - 5^{2}}$

Étape 4.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = y$ et $b = 5$ .

$\frac{{(y - 5)}^{2}}{(y - 7) (y + 5)} \cdot \frac{9}{(y + 5) (y - 5)}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Associez.

$\frac{{(y - 5)}^{2} \cdot 9}{(y - 7) (y + 5) ((y + 5) (y - 5))}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun à ${(y - 5)}^{2}$ et $y - 5$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $y - 5$ à partir de ${(y - 5)}^{2} \cdot 9$ .

$\frac{(y - 5) ((y - 5) \cdot 9)}{(y - 7) (y + 5) ((y + 5) (y - 5))}$

Étape 5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.2.1

Factorisez $y - 5$ à partir de $(y - 7) (y + 5) ((y + 5) (y - 5))$ .

$\frac{(y - 5) ((y - 5) \cdot 9)}{(y - 5) ((y - 7) (y + 5) (y + 5))}$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(y - 5) ((y - 5) \cdot 9)}{(y - 5) ((y - 7) (y + 5) (y + 5))}$

Étape 5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(y - 5) \cdot 9}{(y - 7) (y + 5) (y + 5)}$

Étape 6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.1

Élevez $y + 5$ à la puissance $1$ .

$\frac{(y - 5) \cdot 9}{(y - 7) ({(y + 5)}^{1} (y + 5))}$

Étape 6.2

Élevez $y + 5$ à la puissance $1$ .

$\frac{(y - 5) \cdot 9}{(y - 7) ({(y + 5)}^{1} {(y + 5)}^{1})}$

Étape 6.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(y - 5) \cdot 9}{(y - 7) {(y + 5)}^{1 + 1}}$

Étape 6.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{(y - 5) \cdot 9}{(y - 7) {(y + 5)}^{2}}$

Étape 7

Déplacez $9$ à gauche de $y - 5$ .

$\frac{9 (y - 5)}{(y - 7) {(y + 5)}^{2}}$