Mathématiques de base Exemples

$\frac{a^{2} - a - 6}{a^{2} - 81} \div \frac{a^{2} - 7 a - 18}{4 a + 36}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{a^{2} - a - 6}{a^{2} - 81} \cdot \frac{4 a + 36}{a^{2} - 7 a - 18}$

Étape 2

Factorisez $a^{2} - a - 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 6$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 3, 2$

Étape 2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(a - 3) (a + 2)}{a^{2} - 81} \cdot \frac{4 a + 36}{a^{2} - 7 a - 18}$

Étape 3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1

Réécrivez $81$ comme $9^{2}$ .

$\frac{(a - 3) (a + 2)}{a^{2} - 9^{2}} \cdot \frac{4 a + 36}{a^{2} - 7 a - 18}$

Étape 3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = a$ et $b = 9$ .

$\frac{(a - 3) (a + 2)}{(a + 9) (a - 9)} \cdot \frac{4 a + 36}{a^{2} - 7 a - 18}$

Étape 4

Factorisez $4$ à partir de $4 a + 36$ .

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Étape 4.1

Factorisez $4$ à partir de $4 a$ .

$\frac{(a - 3) (a + 2)}{(a + 9) (a - 9)} \cdot \frac{4 (a) + 36}{a^{2} - 7 a - 18}$

Étape 4.2

Factorisez $4$ à partir de $36$ .

$\frac{(a - 3) (a + 2)}{(a + 9) (a - 9)} \cdot \frac{4 a + 4 \cdot 9}{a^{2} - 7 a - 18}$

Étape 4.3

Factorisez $4$ à partir de $4 a + 4 \cdot 9$ .

$\frac{(a - 3) (a + 2)}{(a + 9) (a - 9)} \cdot \frac{4 (a + 9)}{a^{2} - 7 a - 18}$

Étape 5

Factorisez $a^{2} - 7 a - 18$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 18$ et dont la somme est $- 7$ .

$- 9, 2$

Étape 5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(a - 3) (a + 2)}{(a + 9) (a - 9)} \cdot \frac{4 (a + 9)}{(a - 9) (a + 2)}$

Étape 6

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun de $a + 2$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $a + 2$ à partir de $(a - 3) (a + 2)$ .

$\frac{(a + 2) (a - 3)}{(a + 9) (a - 9)} \cdot \frac{4 (a + 9)}{(a - 9) (a + 2)}$

Étape 6.1.2

Factorisez $a + 2$ à partir de $(a - 9) (a + 2)$ .

$\frac{(a + 2) (a - 3)}{(a + 9) (a - 9)} \cdot \frac{4 (a + 9)}{(a + 2) (a - 9)}$

Étape 6.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{(a + 2) (a - 3)}{(a + 9) (a - 9)} \cdot \frac{4 (a + 9)}{(a + 2) (a - 9)}$

Étape 6.1.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{a - 3}{(a + 9) (a - 9)} \cdot \frac{4 (a + 9)}{a - 9}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun de $a + 9$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez $a + 9$ à partir de $4 (a + 9)$ .

$\frac{a - 3}{(a + 9) (a - 9)} \cdot \frac{(a + 9) \cdot 4}{a - 9}$

Étape 6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{a - 3}{(a + 9) (a - 9)} \cdot \frac{(a + 9) \cdot 4}{a - 9}$

Étape 6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{a - 3}{a - 9} \cdot \frac{4}{a - 9}$

Étape 6.3

Multipliez $\frac{a - 3}{a - 9}$ par $\frac{4}{a - 9}$ .

$\frac{(a - 3) \cdot 4}{(a - 9) (a - 9)}$

Étape 7

Élevez $a - 9$ à la puissance $1$ .

$\frac{(a - 3) \cdot 4}{{(a - 9)}^{1} (a - 9)}$

Étape 8

Élevez $a - 9$ à la puissance $1$ .

$\frac{(a - 3) \cdot 4}{{(a - 9)}^{1} {(a - 9)}^{1}}$

Étape 9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(a - 3) \cdot 4}{{(a - 9)}^{1 + 1}}$

Étape 10

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{(a - 3) \cdot 4}{{(a - 9)}^{2}}$

Étape 11

Déplacez $4$ à gauche de $a - 3$ .

$\frac{4 (a - 3)}{{(a - 9)}^{2}}$