Mathématiques de base Exemples

$\frac{\frac{21 y^{2} + 4 y - 1}{5 y + 3}}{\frac{3 y + 1}{10 y^{2} + y - 3}}$

Étape 1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{21 y^{2} + 4 y - 1}{5 y + 3} \cdot \frac{10 y^{2} + y - 3}{3 y + 1}$

Étape 2

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 21 \cdot - 1 = - 21$ et dont la somme est $b = 4$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 y$ .

$\frac{21 y^{2} + 4 (y) - 1}{5 y + 3} \cdot \frac{10 y^{2} + y - 3}{3 y + 1}$

Étape 2.1.2

Réécrivez $4$ comme $- 3$ plus $7$

$\frac{21 y^{2} + (- 3 + 7) y - 1}{5 y + 3} \cdot \frac{10 y^{2} + y - 3}{3 y + 1}$

Étape 2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{21 y^{2} - 3 y + 7 y - 1}{5 y + 3} \cdot \frac{10 y^{2} + y - 3}{3 y + 1}$

Étape 2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(21 y^{2} - 3 y) + 7 y - 1}{5 y + 3} \cdot \frac{10 y^{2} + y - 3}{3 y + 1}$

Étape 2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{3 y (7 y - 1) + 1 (7 y - 1)}{5 y + 3} \cdot \frac{10 y^{2} + y - 3}{3 y + 1}$

Étape 2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $7 y - 1$ .

$\frac{(7 y - 1) (3 y + 1)}{5 y + 3} \cdot \frac{10 y^{2} + y - 3}{3 y + 1}$

Étape 3

Annulez le facteur commun de $3 y + 1$ .

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Étape 3.1

Factorisez $3 y + 1$ à partir de $(7 y - 1) (3 y + 1)$ .

$\frac{(3 y + 1) (7 y - 1)}{5 y + 3} \cdot \frac{10 y^{2} + y - 3}{3 y + 1}$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(3 y + 1) (7 y - 1)}{5 y + 3} \cdot \frac{10 y^{2} + y - 3}{3 y + 1}$

Étape 3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{7 y - 1}{5 y + 3} (10 y^{2} + y - 3)$

Étape 4

Multipliez $\frac{7 y - 1}{5 y + 3}$ par $10 y^{2} + y - 3$ .

$\frac{(7 y - 1) (10 y^{2} + y - 3)}{5 y + 3}$

Étape 5

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 10 \cdot - 3 = - 30$ et dont la somme est $b = 1$ .

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Étape 5.1.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{(7 y - 1) (10 y^{2} + 1 y - 3)}{5 y + 3}$

Étape 5.1.2

Réécrivez $1$ comme $- 5$ plus $6$

$\frac{(7 y - 1) (10 y^{2} + (- 5 + 6) y - 3)}{5 y + 3}$

Étape 5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(7 y - 1) (10 y^{2} - 5 y + 6 y - 3)}{5 y + 3}$

Étape 5.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(7 y - 1) ((10 y^{2} - 5 y) + 6 y - 3)}{5 y + 3}$

Étape 5.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{(7 y - 1) (5 y (2 y - 1) + 3 (2 y - 1))}{5 y + 3}$

Étape 5.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 y - 1$ .

$\frac{(7 y - 1) ((2 y - 1) (5 y + 3))}{5 y + 3}$

$\frac{(7 y - 1) (2 y - 1) (5 y + 3)}{5 y + 3}$

Étape 6

Annulez le facteur commun de $5 y + 3$ .

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(7 y - 1) (2 y - 1) (5 y + 3)}{5 y + 3}$

Étape 6.2

Divisez $(7 y - 1) (2 y - 1)$ par $1$ .

$(7 y - 1) (2 y - 1)$

Étape 7

Développez $(7 y - 1) (2 y - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$7 y (2 y - 1) - 1 (2 y - 1)$

Étape 7.2

Appliquez la propriété distributive.

$7 y (2 y) + 7 y \cdot - 1 - 1 (2 y - 1)$

Étape 7.3

Appliquez la propriété distributive.

$7 y (2 y) + 7 y \cdot - 1 - 1 (2 y) - 1 \cdot - 1$

Étape 8

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$7 \cdot 2 y \cdot y + 7 y \cdot - 1 - 1 (2 y) - 1 \cdot - 1$

Étape 8.1.2

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.1.2.1

Déplacez $y$ .

$7 \cdot 2 (y \cdot y) + 7 y \cdot - 1 - 1 (2 y) - 1 \cdot - 1$

Étape 8.1.2.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$7 \cdot 2 y^{2} + 7 y \cdot - 1 - 1 (2 y) - 1 \cdot - 1$

Étape 8.1.3

Multipliez $7$ par $2$ .

$14 y^{2} + 7 y \cdot - 1 - 1 (2 y) - 1 \cdot - 1$

Étape 8.1.4

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$14 y^{2} - 7 y - 1 (2 y) - 1 \cdot - 1$

Étape 8.1.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$14 y^{2} - 7 y - 2 y - 1 \cdot - 1$

Étape 8.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$14 y^{2} - 7 y - 2 y + 1$

Étape 8.2

Soustrayez $2 y$ de $- 7 y$ .

$14 y^{2} - 9 y + 1$