Mathématiques de base Exemples

$8 + \frac{i}{8 - i}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{i}{8 - i}$ par le conjugué de $8 - i$ pour rendre le dénominateur réel.

$8 + \frac{i}{8 - i} \cdot \frac{8 + i}{8 + i}$

Étape 1.2

Multipliez.

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Étape 1.2.1

Associez.

$8 + \frac{i (8 + i)}{(8 - i) (8 + i)}$

Étape 1.2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$8 + \frac{i \cdot 8 + i i}{(8 - i) (8 + i)}$

Étape 1.2.2.2

Déplacez $8$ à gauche de $i$ .

$8 + \frac{8 \cdot i + i i}{(8 - i) (8 + i)}$

Étape 1.2.2.3

Multipliez $i i$ .

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Étape 1.2.2.3.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$8 + \frac{8 \cdot i + i^{1} i}{(8 - i) (8 + i)}$

Étape 1.2.2.3.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$8 + \frac{8 \cdot i + i^{1} i^{1}}{(8 - i) (8 + i)}$

Étape 1.2.2.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$8 + \frac{8 \cdot i + i^{1 + 1}}{(8 - i) (8 + i)}$

Étape 1.2.2.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$8 + \frac{8 \cdot i + i^{2}}{(8 - i) (8 + i)}$

Étape 1.2.2.4

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$8 + \frac{8 i - 1}{(8 - i) (8 + i)}$

Étape 1.2.2.5

Remettez dans l’ordre $8 i$ et $- 1$ .

$8 + \frac{- 1 + 8 i}{(8 - i) (8 + i)}$

Étape 1.2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.3.1

Développez $(8 - i) (8 + i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$8 + \frac{- 1 + 8 i}{8 (8 + i) - i (8 + i)}$

Étape 1.2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$8 + \frac{- 1 + 8 i}{8 \cdot 8 + 8 i - i (8 + i)}$

Étape 1.2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$8 + \frac{- 1 + 8 i}{8 \cdot 8 + 8 i - i \cdot 8 - i i}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez

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Étape 1.2.3.2.1

Multipliez $8$ par $8$ .

$8 + \frac{- 1 + 8 i}{64 + 8 i - i \cdot 8 - i i}$

Étape 1.2.3.2.2

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$8 + \frac{- 1 + 8 i}{64 + 8 i - 8 i - i i}$

Étape 1.2.3.2.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$8 + \frac{- 1 + 8 i}{64 + 8 i - 8 i - (i^{1} i)}$

Étape 1.2.3.2.4

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$8 + \frac{- 1 + 8 i}{64 + 8 i - 8 i - (i^{1} i^{1})}$

Étape 1.2.3.2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$8 + \frac{- 1 + 8 i}{64 + 8 i - 8 i - i^{1 + 1}}$

Étape 1.2.3.2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$8 + \frac{- 1 + 8 i}{64 + 8 i - 8 i - i^{2}}$

Étape 1.2.3.2.7

Soustrayez $8 i$ de $8 i$ .

$8 + \frac{- 1 + 8 i}{64 + 0 - i^{2}}$

Étape 1.2.3.2.8

Additionnez $64$ et $0$ .

$8 + \frac{- 1 + 8 i}{64 - i^{2}}$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$8 + \frac{- 1 + 8 i}{64 - - 1}$

Étape 1.2.3.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$8 + \frac{- 1 + 8 i}{64 + 1}$

Étape 1.2.3.4

Additionnez $64$ et $1$ .

$8 + \frac{- 1 + 8 i}{65}$

Étape 1.3

Divisez la fraction $\frac{- 1 + 8 i}{65}$ en deux fractions.

$8 + \frac{- 1}{65} + \frac{8 i}{65}$

Étape 1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$8 - \frac{1}{65} + \frac{8 i}{65}$

Étape 2

Pour écrire $8$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{65}{65}$ .

$8 \cdot \frac{65}{65} - \frac{1}{65} + \frac{8 i}{65}$

Étape 3

Associez $8$ et $\frac{65}{65}$ .

$\frac{8 \cdot 65}{65} - \frac{1}{65} + \frac{8 i}{65}$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{8 \cdot 65 - 1}{65} + \frac{8 i}{65}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Multipliez $8$ par $65$ .

$\frac{520 - 1}{65} + \frac{8 i}{65}$

Étape 5.2

Soustrayez $1$ de $520$ .

$\frac{519}{65} + \frac{8 i}{65}$