Mathématiques de base Exemples

$\frac{4 - 7 i}{9 + 4 i}$

Étape 1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{4 - 7 i}{9 + 4 i}$ par le conjugué de $9 + 4 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{4 - 7 i}{9 + 4 i} \cdot \frac{9 - 4 i}{9 - 4 i}$

Étape 2

Multipliez.

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Étape 2.1

Associez.

$\frac{(4 - 7 i) (9 - 4 i)}{(9 + 4 i) (9 - 4 i)}$

Étape 2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.1

Développez $(4 - 7 i) (9 - 4 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 (9 - 4 i) - 7 i (9 - 4 i)}{(9 + 4 i) (9 - 4 i)}$

Étape 2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 \cdot 9 + 4 (- 4 i) - 7 i (9 - 4 i)}{(9 + 4 i) (9 - 4 i)}$

Étape 2.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 \cdot 9 + 4 (- 4 i) - 7 i \cdot 9 - 7 i (- 4 i)}{(9 + 4 i) (9 - 4 i)}$

Étape 2.2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

Multipliez $4$ par $9$ .

$\frac{36 + 4 (- 4 i) - 7 i \cdot 9 - 7 i (- 4 i)}{(9 + 4 i) (9 - 4 i)}$

Étape 2.2.2.1.2

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$\frac{36 - 16 i - 7 i \cdot 9 - 7 i (- 4 i)}{(9 + 4 i) (9 - 4 i)}$

Étape 2.2.2.1.3

Multipliez $9$ par $- 7$ .

$\frac{36 - 16 i - 63 i - 7 i (- 4 i)}{(9 + 4 i) (9 - 4 i)}$

Étape 2.2.2.1.4

Multipliez $- 7 i (- 4 i)$ .

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Étape 2.2.2.1.4.1

Multipliez $- 4$ par $- 7$ .

$\frac{36 - 16 i - 63 i + 28 i i}{(9 + 4 i) (9 - 4 i)}$

Étape 2.2.2.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{36 - 16 i - 63 i + 28 (i^{1} i)}{(9 + 4 i) (9 - 4 i)}$

Étape 2.2.2.1.4.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{36 - 16 i - 63 i + 28 (i^{1} i^{1})}{(9 + 4 i) (9 - 4 i)}$

Étape 2.2.2.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{36 - 16 i - 63 i + 28 i^{1 + 1}}{(9 + 4 i) (9 - 4 i)}$

Étape 2.2.2.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{36 - 16 i - 63 i + 28 i^{2}}{(9 + 4 i) (9 - 4 i)}$

Étape 2.2.2.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{36 - 16 i - 63 i + 28 \cdot - 1}{(9 + 4 i) (9 - 4 i)}$

Étape 2.2.2.1.6

Multipliez $28$ par $- 1$ .

$\frac{36 - 16 i - 63 i - 28}{(9 + 4 i) (9 - 4 i)}$

Étape 2.2.2.2

Soustrayez $28$ de $36$ .

$\frac{8 - 16 i - 63 i}{(9 + 4 i) (9 - 4 i)}$

Étape 2.2.2.3

Soustrayez $63 i$ de $- 16 i$ .

$\frac{8 - 79 i}{(9 + 4 i) (9 - 4 i)}$

Étape 2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.3.1

Développez $(9 + 4 i) (9 - 4 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8 - 79 i}{9 (9 - 4 i) + 4 i (9 - 4 i)}$

Étape 2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8 - 79 i}{9 \cdot 9 + 9 (- 4 i) + 4 i (9 - 4 i)}$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8 - 79 i}{9 \cdot 9 + 9 (- 4 i) + 4 i \cdot 9 + 4 i (- 4 i)}$

Étape 2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.2.1

Multipliez $9$ par $9$ .

$\frac{8 - 79 i}{81 + 9 (- 4 i) + 4 i \cdot 9 + 4 i (- 4 i)}$

Étape 2.3.2.2

Multipliez $- 4$ par $9$ .

$\frac{8 - 79 i}{81 - 36 i + 4 i \cdot 9 + 4 i (- 4 i)}$

Étape 2.3.2.3

Multipliez $9$ par $4$ .

$\frac{8 - 79 i}{81 - 36 i + 36 i + 4 i (- 4 i)}$

Étape 2.3.2.4

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$\frac{8 - 79 i}{81 - 36 i + 36 i - 16 i i}$

Étape 2.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{8 - 79 i}{81 - 36 i + 36 i - 16 (i^{1} i)}$

Étape 2.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{8 - 79 i}{81 - 36 i + 36 i - 16 (i^{1} i^{1})}$

Étape 2.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{8 - 79 i}{81 - 36 i + 36 i - 16 i^{1 + 1}}$

Étape 2.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{8 - 79 i}{81 - 36 i + 36 i - 16 i^{2}}$

Étape 2.3.2.9

Additionnez $- 36 i$ et $36 i$ .

$\frac{8 - 79 i}{81 + 0 - 16 i^{2}}$

Étape 2.3.2.10

Additionnez $81$ et $0$ .

$\frac{8 - 79 i}{81 - 16 i^{2}}$

Étape 2.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{8 - 79 i}{81 - 16 \cdot - 1}$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $- 16$ par $- 1$ .

$\frac{8 - 79 i}{81 + 16}$

Étape 2.3.4

Additionnez $81$ et $16$ .

$\frac{8 - 79 i}{97}$

Étape 3

Divisez la fraction $\frac{8 - 79 i}{97}$ en deux fractions.

$\frac{8}{97} + \frac{- 79 i}{97}$

Étape 4

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{8}{97} - \frac{79 i}{97}$