Mathématiques de base Exemples

$\frac{4 + 4 i}{2 - 2 i}$

Étape 1

Annulez le facteur commun à $4 + 4 i$ et $2 - 2 i$ .

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Étape 1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 (2) + 4 i}{2 - 2 i}$

Étape 1.2

Factorisez $2$ à partir de $4 i$ .

$\frac{2 (2) + 2 (2 i)}{2 - 2 i}$

Étape 1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (2) + 2 (2 i)$ .

$\frac{2 (2 + 2 i)}{2 - 2 i}$

Étape 1.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (2 + 2 i)}{2 \cdot 1 - 2 i}$

Étape 1.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 i$ .

$\frac{2 (2 + 2 i)}{2 \cdot 1 + 2 (- i)}$

Étape 1.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (1) + 2 (- i)$ .

$\frac{2 (2 + 2 i)}{2 (1 - i)}$

Étape 1.4.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (2 + 2 i)}{2 (1 - i)}$

Étape 1.4.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 + 2 i}{1 - i}$

Étape 2

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{2 + 2 i}{1 - i}$ par le conjugué de $1 - i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{2 + 2 i}{1 - i} \cdot \frac{1 + i}{1 + i}$

Étape 3

Multipliez.

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Étape 3.1

Associez.

$\frac{(2 + 2 i) (1 + i)}{(1 - i) (1 + i)}$

Étape 3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.1

Développez $(2 + 2 i) (1 + i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (1 + i) + 2 i (1 + i)}{(1 - i) (1 + i)}$

Étape 3.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 i + 2 i (1 + i)}{(1 - i) (1 + i)}$

Étape 3.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 i + 2 i \cdot 1 + 2 i i}{(1 - i) (1 + i)}$

Étape 3.2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2 + 2 i + 2 i \cdot 1 + 2 i i}{(1 - i) (1 + i)}$

Étape 3.2.2.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2 + 2 i + 2 i + 2 i i}{(1 - i) (1 + i)}$

Étape 3.2.2.1.3

Multipliez $2 i i$ .

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Étape 3.2.2.1.3.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 + 2 i + 2 i + 2 (i^{1} i)}{(1 - i) (1 + i)}$

Étape 3.2.2.1.3.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 + 2 i + 2 i + 2 (i^{1} i^{1})}{(1 - i) (1 + i)}$

Étape 3.2.2.1.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 + 2 i + 2 i + 2 i^{1 + 1}}{(1 - i) (1 + i)}$

Étape 3.2.2.1.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 + 2 i + 2 i + 2 i^{2}}{(1 - i) (1 + i)}$

Étape 3.2.2.1.4

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{2 + 2 i + 2 i + 2 \cdot - 1}{(1 - i) (1 + i)}$

Étape 3.2.2.1.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 + 2 i + 2 i - 2}{(1 - i) (1 + i)}$

Étape 3.2.2.2

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\frac{0 + 2 i + 2 i}{(1 - i) (1 + i)}$

Étape 3.2.2.3

Additionnez $0$ et $2 i$ .

$\frac{2 i + 2 i}{(1 - i) (1 + i)}$

Étape 3.2.2.4

Additionnez $2 i$ et $2 i$ .

$\frac{4 i}{(1 - i) (1 + i)}$

Étape 3.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.3.1

Développez $(1 - i) (1 + i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 i}{1 (1 + i) - i (1 + i)}$

Étape 3.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 i}{1 \cdot 1 + 1 i - i (1 + i)}$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 i}{1 \cdot 1 + 1 i - i \cdot 1 - i i}$

Étape 3.3.2

Simplifiez

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Étape 3.3.2.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{4 i}{1 + 1 i - i \cdot 1 - i i}$

Étape 3.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{4 i}{1 + 1 i - i - i i}$

Étape 3.3.2.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 i}{1 + 1 i - i - (i^{1} i)}$

Étape 3.3.2.4

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 i}{1 + 1 i - i - (i^{1} i^{1})}$

Étape 3.3.2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 i}{1 + 1 i - i - i^{1 + 1}}$

Étape 3.3.2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{4 i}{1 + 1 i - i - i^{2}}$

Étape 3.3.2.7

Soustrayez $i$ de $1 i$ .

$\frac{4 i}{1 + 0 - i^{2}}$

Étape 3.3.2.8

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{4 i}{1 - i^{2}}$

Étape 3.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{4 i}{1 - - 1}$

Étape 3.3.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{4 i}{1 + 1}$

Étape 3.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{4 i}{2}$

Étape 4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 4.1

Factorisez $2$ à partir de $4 i$ .

$\frac{2 (2 i)}{2}$

Étape 4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (2 i)}{2 (1)}$

Étape 4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (2 i)}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 i}{1}$

Étape 4.2.4

Divisez $2 i$ par $1$ .

$2 i$