Mathématiques de base Exemples

\frac{3 - i}{2 + 3 i}

$\frac{3 - i}{2 + 3 i}$

Étape 1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de

\frac{3 - i}{2 + 3 i}

$\frac{3 - i}{2 + 3 i}$ par le conjugué de

2 + 3 i

$2 + 3 i$ pour rendre le dénominateur réel.

\frac{3 - i}{2 + 3 i} \cdot \frac{2 - 3 i}{2 - 3 i}

$\frac{3 - i}{2 + 3 i} \cdot \frac{2 - 3 i}{2 - 3 i}$

Étape 2

Multipliez.

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Étape 2.1

Associez.

\frac{(3 - i) (2 - 3 i)}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}

$\frac{(3 - i) (2 - 3 i)}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Étape 2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.1

Développez

(3 - i) (2 - 3 i)

$(3 - i) (2 - 3 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

\frac{3 (2 - 3 i) - i (2 - 3 i)}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}

$\frac{3 (2 - 3 i) - i (2 - 3 i)}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Étape 2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

\frac{3 \cdot 2 + 3 (- 3 i) - i (2 - 3 i)}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}

$\frac{3 \cdot 2 + 3 (- 3 i) - i (2 - 3 i)}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Étape 2.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

\frac{3 \cdot 2 + 3 (- 3 i) - i \cdot 2 - i (- 3 i)}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}

$\frac{3 \cdot 2 + 3 (- 3 i) - i \cdot 2 - i (- 3 i)}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Étape 2.2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

Multipliez

$3$ par

$2$ .

$\frac{6 + 3 (- 3 i) - i \cdot 2 - i (- 3 i)}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Étape 2.2.2.1.2

Multipliez

$- 3$ par

$3$ .

$\frac{6 - 9 i - i \cdot 2 - i (- 3 i)}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Étape 2.2.2.1.3

Multipliez

$2$ par

$- 1$ .

$\frac{6 - 9 i - 2 i - i (- 3 i)}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Étape 2.2.2.1.4

Multipliez

$- i (- 3 i)$ .

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Étape 2.2.2.1.4.1

Multipliez

$- 3$ par

$- 1$ .

$\frac{6 - 9 i - 2 i + 3 i i}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Étape 2.2.2.1.4.2

Élevez

$i$ à la puissance

$1$ .

$\frac{6 - 9 i - 2 i + 3 (i^{1} i)}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Étape 2.2.2.1.4.3

Élevez

$i$ à la puissance

$1$ .

$\frac{6 - 9 i - 2 i + 3 (i^{1} i^{1})}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Étape 2.2.2.1.4.4

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{6 - 9 i - 2 i + 3 i^{1 + 1}}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Étape 2.2.2.1.4.5

Additionnez

$1$ et

$1$ .

$\frac{6 - 9 i - 2 i + 3 i^{2}}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Étape 2.2.2.1.5

Réécrivez

$i^{2}$ comme

$- 1$ .

$\frac{6 - 9 i - 2 i + 3 \cdot - 1}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Étape 2.2.2.1.6

Multipliez

$3$ par

$- 1$ .

$\frac{6 - 9 i - 2 i - 3}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Étape 2.2.2.2

Soustrayez

$3$ de

$6$ .

$\frac{3 - 9 i - 2 i}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Étape 2.2.2.3

Soustrayez

$2 i$ de

$- 9 i$ .

$\frac{3 - 11 i}{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}$

Étape 2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.3.1

Développez

$(2 + 3 i) (2 - 3 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 - 11 i}{2 (2 - 3 i) + 3 i (2 - 3 i)}$

Étape 2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 - 11 i}{2 \cdot 2 + 2 (- 3 i) + 3 i (2 - 3 i)}$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 - 11 i}{2 \cdot 2 + 2 (- 3 i) + 3 i \cdot 2 + 3 i (- 3 i)}$

Étape 2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.2.1

Multipliez

$2$ par

$2$ .

$\frac{3 - 11 i}{4 + 2 (- 3 i) + 3 i \cdot 2 + 3 i (- 3 i)}$

Étape 2.3.2.2

Multipliez

$- 3$ par

$2$ .

$\frac{3 - 11 i}{4 - 6 i + 3 i \cdot 2 + 3 i (- 3 i)}$

Étape 2.3.2.3

Multipliez

$2$ par

$3$ .

$\frac{3 - 11 i}{4 - 6 i + 6 i + 3 i (- 3 i)}$

Étape 2.3.2.4

Multipliez

$- 3$ par

$3$ .

$\frac{3 - 11 i}{4 - 6 i + 6 i - 9 i i}$

Étape 2.3.2.5

Élevez

$i$ à la puissance

$1$ .

$\frac{3 - 11 i}{4 - 6 i + 6 i - 9 (i^{1} i)}$

Étape 2.3.2.6

Élevez

$i$ à la puissance

$1$ .

$\frac{3 - 11 i}{4 - 6 i + 6 i - 9 (i^{1} i^{1})}$

Étape 2.3.2.7

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 - 11 i}{4 - 6 i + 6 i - 9 i^{1 + 1}}$

Étape 2.3.2.8

Additionnez

$1$ et

$1$ .

$\frac{3 - 11 i}{4 - 6 i + 6 i - 9 i^{2}}$

Étape 2.3.2.9

Additionnez

$- 6 i$ et

$6 i$ .

$\frac{3 - 11 i}{4 + 0 - 9 i^{2}}$

Étape 2.3.2.10

Additionnez

$4$ et

$0$ .

$\frac{3 - 11 i}{4 - 9 i^{2}}$

Étape 2.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez

$i^{2}$ comme

$- 1$ .

$\frac{3 - 11 i}{4 - 9 \cdot - 1}$

Étape 2.3.3.2

Multipliez

$- 9$ par

$- 1$ .

$\frac{3 - 11 i}{4 + 9}$

Étape 2.3.4

Additionnez

$4$ et

$9$ .

$\frac{3 - 11 i}{13}$

Étape 3

Divisez la fraction

$\frac{3 - 11 i}{13}$ en deux fractions.

$\frac{3}{13} + \frac{- 11 i}{13}$

Étape 4

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{3}{13} - \frac{11 i}{13}$