Mathématiques de base Exemples

$\frac{6 + 5 i}{2 - i}$

Étape 1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{6 + 5 i}{2 - i}$ par le conjugué de $2 - i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{6 + 5 i}{2 - i} \cdot \frac{2 + i}{2 + i}$

Étape 2

Multipliez.

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Étape 2.1

Associez.

$\frac{(6 + 5 i) (2 + i)}{(2 - i) (2 + i)}$

Étape 2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.1

Développez $(6 + 5 i) (2 + i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 (2 + i) + 5 i (2 + i)}{(2 - i) (2 + i)}$

Étape 2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 \cdot 2 + 6 i + 5 i (2 + i)}{(2 - i) (2 + i)}$

Étape 2.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 \cdot 2 + 6 i + 5 i \cdot 2 + 5 i i}{(2 - i) (2 + i)}$

Étape 2.2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{12 + 6 i + 5 i \cdot 2 + 5 i i}{(2 - i) (2 + i)}$

Étape 2.2.2.1.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{12 + 6 i + 10 i + 5 i i}{(2 - i) (2 + i)}$

Étape 2.2.2.1.3

Multipliez $5 i i$ .

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Étape 2.2.2.1.3.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{12 + 6 i + 10 i + 5 (i^{1} i)}{(2 - i) (2 + i)}$

Étape 2.2.2.1.3.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{12 + 6 i + 10 i + 5 (i^{1} i^{1})}{(2 - i) (2 + i)}$

Étape 2.2.2.1.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{12 + 6 i + 10 i + 5 i^{1 + 1}}{(2 - i) (2 + i)}$

Étape 2.2.2.1.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{12 + 6 i + 10 i + 5 i^{2}}{(2 - i) (2 + i)}$

Étape 2.2.2.1.4

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{12 + 6 i + 10 i + 5 \cdot - 1}{(2 - i) (2 + i)}$

Étape 2.2.2.1.5

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{12 + 6 i + 10 i - 5}{(2 - i) (2 + i)}$

Étape 2.2.2.2

Soustrayez $5$ de $12$ .

$\frac{7 + 6 i + 10 i}{(2 - i) (2 + i)}$

Étape 2.2.2.3

Additionnez $6 i$ et $10 i$ .

$\frac{7 + 16 i}{(2 - i) (2 + i)}$

Étape 2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.3.1

Développez $(2 - i) (2 + i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{7 + 16 i}{2 (2 + i) - i (2 + i)}$

Étape 2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{7 + 16 i}{2 \cdot 2 + 2 i - i (2 + i)}$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{7 + 16 i}{2 \cdot 2 + 2 i - i \cdot 2 - i i}$

Étape 2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.2.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{7 + 16 i}{4 + 2 i - i \cdot 2 - i i}$

Étape 2.3.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{7 + 16 i}{4 + 2 i - 2 i - i i}$

Étape 2.3.2.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{7 + 16 i}{4 + 2 i - 2 i - (i^{1} i)}$

Étape 2.3.2.4

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{7 + 16 i}{4 + 2 i - 2 i - (i^{1} i^{1})}$

Étape 2.3.2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{7 + 16 i}{4 + 2 i - 2 i - i^{1 + 1}}$

Étape 2.3.2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{7 + 16 i}{4 + 2 i - 2 i - i^{2}}$

Étape 2.3.2.7

Soustrayez $2 i$ de $2 i$ .

$\frac{7 + 16 i}{4 + 0 - i^{2}}$

Étape 2.3.2.8

Additionnez $4$ et $0$ .

$\frac{7 + 16 i}{4 - i^{2}}$

Étape 2.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{7 + 16 i}{4 - - 1}$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{7 + 16 i}{4 + 1}$

Étape 2.3.4

Additionnez $4$ et $1$ .

$\frac{7 + 16 i}{5}$

Étape 3

Divisez la fraction $\frac{7 + 16 i}{5}$ en deux fractions.

$\frac{7}{5} + \frac{16 i}{5}$