Mathématiques de base Exemples

\frac{4 - 7 i}{3 + 4 i}

$\frac{4 - 7 i}{3 + 4 i}$

Étape 1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de

\frac{4 - 7 i}{3 + 4 i}

$\frac{4 - 7 i}{3 + 4 i}$ par le conjugué de

3 + 4 i

$3 + 4 i$ pour rendre le dénominateur réel.

\frac{4 - 7 i}{3 + 4 i} \cdot \frac{3 - 4 i}{3 - 4 i}

$\frac{4 - 7 i}{3 + 4 i} \cdot \frac{3 - 4 i}{3 - 4 i}$

Étape 2

Multipliez.

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Étape 2.1

Associez.

\frac{(4 - 7 i) (3 - 4 i)}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}

$\frac{(4 - 7 i) (3 - 4 i)}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}$

Étape 2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.1

Développez

(4 - 7 i) (3 - 4 i)

$(4 - 7 i) (3 - 4 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

\frac{4 (3 - 4 i) - 7 i (3 - 4 i)}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}

$\frac{4 (3 - 4 i) - 7 i (3 - 4 i)}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}$

Étape 2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

\frac{4 \cdot 3 + 4 (- 4 i) - 7 i (3 - 4 i)}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}

$\frac{4 \cdot 3 + 4 (- 4 i) - 7 i (3 - 4 i)}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}$

Étape 2.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

\frac{4 \cdot 3 + 4 (- 4 i) - 7 i \cdot 3 - 7 i (- 4 i)}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}

$\frac{4 \cdot 3 + 4 (- 4 i) - 7 i \cdot 3 - 7 i (- 4 i)}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}$

\frac{4 \cdot 3 + 4 (- 4 i) - 7 i \cdot 3 - 7 i (- 4 i)}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}

$\frac{4 \cdot 3 + 4 (- 4 i) - 7 i \cdot 3 - 7 i (- 4 i)}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}$

Étape 2.2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

Multipliez

$4$ par

$3$ .

$\frac{12 + 4 (- 4 i) - 7 i \cdot 3 - 7 i (- 4 i)}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}$

Étape 2.2.2.1.2

Multipliez

$- 4$ par

$4$ .

$\frac{12 - 16 i - 7 i \cdot 3 - 7 i (- 4 i)}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}$

Étape 2.2.2.1.3

Multipliez

$3$ par

$- 7$ .

$\frac{12 - 16 i - 21 i - 7 i (- 4 i)}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}$

Étape 2.2.2.1.4

Multipliez

$- 7 i (- 4 i)$ .

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Étape 2.2.2.1.4.1

Multipliez

$- 4$ par

$- 7$ .

$\frac{12 - 16 i - 21 i + 28 i i}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}$

Étape 2.2.2.1.4.2

Élevez

$i$ à la puissance

$1$ .

$\frac{12 - 16 i - 21 i + 28 (i^{1} i)}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}$

Étape 2.2.2.1.4.3

Élevez

$i$ à la puissance

$1$ .

$\frac{12 - 16 i - 21 i + 28 (i^{1} i^{1})}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}$

Étape 2.2.2.1.4.4

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{12 - 16 i - 21 i + 28 i^{1 + 1}}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}$

Étape 2.2.2.1.4.5

Additionnez

$1$ et

$1$ .

$\frac{12 - 16 i - 21 i + 28 i^{2}}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}$

Étape 2.2.2.1.5

Réécrivez

$i^{2}$ comme

$- 1$ .

$\frac{12 - 16 i - 21 i + 28 \cdot - 1}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}$

Étape 2.2.2.1.6

Multipliez

$28$ par

$- 1$ .

$\frac{12 - 16 i - 21 i - 28}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}$

Étape 2.2.2.2

Soustrayez

$28$ de

$12$ .

$\frac{- 16 - 16 i - 21 i}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}$

Étape 2.2.2.3

Soustrayez

$21 i$ de

$- 16 i$ .

$\frac{- 16 - 37 i}{(3 + 4 i) (3 - 4 i)}$

Étape 2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.3.1

Développez

$(3 + 4 i) (3 - 4 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 16 - 37 i}{3 (3 - 4 i) + 4 i (3 - 4 i)}$

Étape 2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 16 - 37 i}{3 \cdot 3 + 3 (- 4 i) + 4 i (3 - 4 i)}$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 16 - 37 i}{3 \cdot 3 + 3 (- 4 i) + 4 i \cdot 3 + 4 i (- 4 i)}$

Étape 2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.2.1

Multipliez

$3$ par

$3$ .

$\frac{- 16 - 37 i}{9 + 3 (- 4 i) + 4 i \cdot 3 + 4 i (- 4 i)}$

Étape 2.3.2.2

Multipliez

$- 4$ par

$3$ .

$\frac{- 16 - 37 i}{9 - 12 i + 4 i \cdot 3 + 4 i (- 4 i)}$

Étape 2.3.2.3

Multipliez

$3$ par

$4$ .

$\frac{- 16 - 37 i}{9 - 12 i + 12 i + 4 i (- 4 i)}$

Étape 2.3.2.4

Multipliez

$- 4$ par

$4$ .

$\frac{- 16 - 37 i}{9 - 12 i + 12 i - 16 i i}$

Étape 2.3.2.5

Élevez

$i$ à la puissance

$1$ .

$\frac{- 16 - 37 i}{9 - 12 i + 12 i - 16 (i^{1} i)}$

Étape 2.3.2.6

Élevez

$i$ à la puissance

$1$ .

$\frac{- 16 - 37 i}{9 - 12 i + 12 i - 16 (i^{1} i^{1})}$

Étape 2.3.2.7

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 16 - 37 i}{9 - 12 i + 12 i - 16 i^{1 + 1}}$

Étape 2.3.2.8

Additionnez

$1$ et

$1$ .

$\frac{- 16 - 37 i}{9 - 12 i + 12 i - 16 i^{2}}$

Étape 2.3.2.9

Additionnez

$- 12 i$ et

$12 i$ .

$\frac{- 16 - 37 i}{9 + 0 - 16 i^{2}}$

Étape 2.3.2.10

Additionnez

$9$ et

$0$ .

$\frac{- 16 - 37 i}{9 - 16 i^{2}}$

Étape 2.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez

$i^{2}$ comme

$- 1$ .

$\frac{- 16 - 37 i}{9 - 16 \cdot - 1}$

Étape 2.3.3.2

Multipliez

$- 16$ par

$- 1$ .

$\frac{- 16 - 37 i}{9 + 16}$

Étape 2.3.4

Additionnez

$9$ et

$16$ .

$\frac{- 16 - 37 i}{25}$

Étape 3

Divisez la fraction

$\frac{- 16 - 37 i}{25}$ en deux fractions.

$\frac{- 16}{25} + \frac{- 37 i}{25}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{16}{25} + \frac{- 37 i}{25}$

Étape 4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{16}{25} - \frac{37 i}{25}$