Mathématiques de base Exemples

$\frac{1 - 4 i}{3 - i}$

Étape 1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{1 - 4 i}{3 - i}$ par le conjugué de $3 - i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{1 - 4 i}{3 - i} \cdot \frac{3 + i}{3 + i}$

Étape 2

Multipliez.

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Étape 2.1

Associez.

$\frac{(1 - 4 i) (3 + i)}{(3 - i) (3 + i)}$

Étape 2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.1

Développez $(1 - 4 i) (3 + i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 (3 + i) - 4 i (3 + i)}{(3 - i) (3 + i)}$

Étape 2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 \cdot 3 + 1 i - 4 i (3 + i)}{(3 - i) (3 + i)}$

Étape 2.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 \cdot 3 + 1 i - 4 i \cdot 3 - 4 i i}{(3 - i) (3 + i)}$

Étape 2.2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{3 + 1 i - 4 i \cdot 3 - 4 i i}{(3 - i) (3 + i)}$

Étape 2.2.2.1.2

Multipliez $i$ par $1$ .

$\frac{3 + i - 4 i \cdot 3 - 4 i i}{(3 - i) (3 + i)}$

Étape 2.2.2.1.3

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$\frac{3 + i - 12 i - 4 i i}{(3 - i) (3 + i)}$

Étape 2.2.2.1.4

Multipliez $- 4 i i$ .

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Étape 2.2.2.1.4.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 + i - 12 i - 4 (i^{1} i)}{(3 - i) (3 + i)}$

Étape 2.2.2.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 + i - 12 i - 4 (i^{1} i^{1})}{(3 - i) (3 + i)}$

Étape 2.2.2.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 + i - 12 i - 4 i^{1 + 1}}{(3 - i) (3 + i)}$

Étape 2.2.2.1.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3 + i - 12 i - 4 i^{2}}{(3 - i) (3 + i)}$

Étape 2.2.2.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{3 + i - 12 i - 4 \cdot - 1}{(3 - i) (3 + i)}$

Étape 2.2.2.1.6

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$\frac{3 + i - 12 i + 4}{(3 - i) (3 + i)}$

Étape 2.2.2.2

Additionnez $3$ et $4$ .

$\frac{7 + i - 12 i}{(3 - i) (3 + i)}$

Étape 2.2.2.3

Soustrayez $12 i$ de $i$ .

$\frac{7 - 11 i}{(3 - i) (3 + i)}$

Étape 2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.3.1

Développez $(3 - i) (3 + i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{7 - 11 i}{3 (3 + i) - i (3 + i)}$

Étape 2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{7 - 11 i}{3 \cdot 3 + 3 i - i (3 + i)}$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{7 - 11 i}{3 \cdot 3 + 3 i - i \cdot 3 - i i}$

Étape 2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.2.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{7 - 11 i}{9 + 3 i - i \cdot 3 - i i}$

Étape 2.3.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{7 - 11 i}{9 + 3 i - 3 i - i i}$

Étape 2.3.2.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{7 - 11 i}{9 + 3 i - 3 i - (i^{1} i)}$

Étape 2.3.2.4

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{7 - 11 i}{9 + 3 i - 3 i - (i^{1} i^{1})}$

Étape 2.3.2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{7 - 11 i}{9 + 3 i - 3 i - i^{1 + 1}}$

Étape 2.3.2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{7 - 11 i}{9 + 3 i - 3 i - i^{2}}$

Étape 2.3.2.7

Soustrayez $3 i$ de $3 i$ .

$\frac{7 - 11 i}{9 + 0 - i^{2}}$

Étape 2.3.2.8

Additionnez $9$ et $0$ .

$\frac{7 - 11 i}{9 - i^{2}}$

Étape 2.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{7 - 11 i}{9 - - 1}$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{7 - 11 i}{9 + 1}$

Étape 2.3.4

Additionnez $9$ et $1$ .

$\frac{7 - 11 i}{10}$

Étape 3

Divisez la fraction $\frac{7 - 11 i}{10}$ en deux fractions.

$\frac{7}{10} + \frac{- 11 i}{10}$

Étape 4

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{7}{10} - \frac{11 i}{10}$