Mathématiques de base Exemples

$\frac{3 + 5 i}{6 - \sqrt{2} i} \cdot \frac{6 + \sqrt{2} i}{6 + \sqrt{2} i}$

Étape 1

Annulez le facteur commun de $6 + \sqrt{2} i$ .

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Étape 1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 + 5 i}{6 - \sqrt{2} i} \cdot \frac{6 + \sqrt{2} i}{6 + \sqrt{2} i}$

Étape 1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 + 5 i}{6 - \sqrt{2} i} \cdot 1$

Étape 2

Multipliez $\frac{3 + 5 i}{6 - \sqrt{2} i}$ par $1$ .

$\frac{3 + 5 i}{6 - \sqrt{2} i}$

Étape 3

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{3 + 5 i}{6 - 1.41421356 i}$ par le conjugué de $6 - 1.41421356 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{3 + 5 i}{6 - 1.41421356 i} \cdot \frac{6 + 1.41421356 i}{6 + 1.41421356 i}$

Étape 4

Multipliez.

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Étape 4.1

Associez.

$\frac{(3 + 5 i) (6 + 1.41421356 i)}{(6 - 1.41421356 i) (6 + 1.41421356 i)}$

Étape 4.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.1

Développez $(3 + 5 i) (6 + 1.41421356 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (6 + 1.41421356 i) + 5 i (6 + 1.41421356 i)}{(6 - 1.41421356 i) (6 + 1.41421356 i)}$

Étape 4.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 \cdot 6 + 3 (1.41421356 i) + 5 i (6 + 1.41421356 i)}{(6 - 1.41421356 i) (6 + 1.41421356 i)}$

Étape 4.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 \cdot 6 + 3 (1.41421356 i) + 5 i \cdot 6 + 5 i (1.41421356 i)}{(6 - 1.41421356 i) (6 + 1.41421356 i)}$

Étape 4.2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Multipliez $3$ par $6$ .

$\frac{18 + 3 (1.41421356 i) + 5 i \cdot 6 + 5 i (1.41421356 i)}{(6 - 1.41421356 i) (6 + 1.41421356 i)}$

Étape 4.2.2.1.2

Multipliez $1.41421356$ par $3$ .

$\frac{18 + 4.24264068 i + 5 i \cdot 6 + 5 i (1.41421356 i)}{(6 - 1.41421356 i) (6 + 1.41421356 i)}$

Étape 4.2.2.1.3

Multipliez $6$ par $5$ .

$\frac{18 + 4.24264068 i + 30 i + 5 i (1.41421356 i)}{(6 - 1.41421356 i) (6 + 1.41421356 i)}$

Étape 4.2.2.1.4

Multipliez $5 i (1.41421356 i)$ .

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Étape 4.2.2.1.4.1

Multipliez $1.41421356$ par $5$ .

$\frac{18 + 4.24264068 i + 30 i + 7.07106781 i i}{(6 - 1.41421356 i) (6 + 1.41421356 i)}$

Étape 4.2.2.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{18 + 4.24264068 i + 30 i + 7.07106781 (i^{1} i)}{(6 - 1.41421356 i) (6 + 1.41421356 i)}$

Étape 4.2.2.1.4.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{18 + 4.24264068 i + 30 i + 7.07106781 (i^{1} i^{1})}{(6 - 1.41421356 i) (6 + 1.41421356 i)}$

Étape 4.2.2.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{18 + 4.24264068 i + 30 i + 7.07106781 i^{1 + 1}}{(6 - 1.41421356 i) (6 + 1.41421356 i)}$

Étape 4.2.2.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{18 + 4.24264068 i + 30 i + 7.07106781 i^{2}}{(6 - 1.41421356 i) (6 + 1.41421356 i)}$

Étape 4.2.2.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{18 + 4.24264068 i + 30 i + 7.07106781 \cdot - 1}{(6 - 1.41421356 i) (6 + 1.41421356 i)}$

Étape 4.2.2.1.6

Multipliez $7.07106781$ par $- 1$ .

$\frac{18 + 4.24264068 i + 30 i - 7.07106781}{(6 - 1.41421356 i) (6 + 1.41421356 i)}$

Étape 4.2.2.2

Soustrayez $7.07106781$ de $18$ .

$\frac{10.92893218 + 4.24264068 i + 30 i}{(6 - 1.41421356 i) (6 + 1.41421356 i)}$

Étape 4.2.2.3

Additionnez $4.24264068 i$ et $30 i$ .

$\frac{10.92893218 + 34.24264068 i}{(6 - 1.41421356 i) (6 + 1.41421356 i)}$

Étape 4.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.1

Développez $(6 - 1.41421356 i) (6 + 1.41421356 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{10.92893218 + 34.24264068 i}{6 (6 + 1.41421356 i) - 1.41421356 i (6 + 1.41421356 i)}$

Étape 4.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{10.92893218 + 34.24264068 i}{6 \cdot 6 + 6 (1.41421356 i) - 1.41421356 i (6 + 1.41421356 i)}$

Étape 4.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{10.92893218 + 34.24264068 i}{6 \cdot 6 + 6 (1.41421356 i) - 1.41421356 i \cdot 6 - 1.41421356 i (1.41421356 i)}$

Étape 4.3.2

Simplifiez

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Étape 4.3.2.1

Multipliez $6$ par $6$ .

$\frac{10.92893218 + 34.24264068 i}{36 + 6 (1.41421356 i) - 1.41421356 i \cdot 6 - 1.41421356 i (1.41421356 i)}$

Étape 4.3.2.2

Multipliez $1.41421356$ par $6$ .

$\frac{10.92893218 + 34.24264068 i}{36 + 8.48528137 i - 1.41421356 i \cdot 6 - 1.41421356 i (1.41421356 i)}$

Étape 4.3.2.3

Multipliez $6$ par $- 1.41421356$ .

$\frac{10.92893218 + 34.24264068 i}{36 + 8.48528137 i - 8.48528137 i - 1.41421356 i (1.41421356 i)}$

Étape 4.3.2.4

Multipliez $1.41421356$ par $- 1.41421356$ .

$\frac{10.92893218 + 34.24264068 i}{36 + 8.48528137 i - 8.48528137 i - 2 i i}$

Étape 4.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{10.92893218 + 34.24264068 i}{36 + 8.48528137 i - 8.48528137 i - 2 (i^{1} i)}$

Étape 4.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{10.92893218 + 34.24264068 i}{36 + 8.48528137 i - 8.48528137 i - 2 (i^{1} i^{1})}$

Étape 4.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{10.92893218 + 34.24264068 i}{36 + 8.48528137 i - 8.48528137 i - 2 i^{1 + 1}}$

Étape 4.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{10.92893218 + 34.24264068 i}{36 + 8.48528137 i - 8.48528137 i - 2 i^{2}}$

Étape 4.3.2.9

Soustrayez $8.48528137 i$ de $8.48528137 i$ .

$\frac{10.92893218 + 34.24264068 i}{36 + 0 i - 2 i^{2}}$

Étape 4.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.3.1

Multipliez $0$ par $i$ .

$\frac{10.92893218 + 34.24264068 i}{36 + 0 - 2 i^{2}}$

Étape 4.3.3.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{10.92893218 + 34.24264068 i}{36 + 0 - 2 \cdot - 1}$

Étape 4.3.3.3

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{10.92893218 + 34.24264068 i}{36 + 0 + 2}$

Étape 4.3.4

Additionnez $36$ et $0$ .

$\frac{10.92893218 + 34.24264068 i}{36 + 2}$

Étape 4.3.5

Additionnez $36$ et $2$ .

$\frac{10.92893218 + 34.24264068 i}{38}$

Étape 5

Réécrivez $10.92893218$ comme $1 (10.92893218)$ .

$\frac{1 (10.92893218) + 34.24264068 i}{38}$

Étape 6

Factorisez $1$ à partir de $34.24264068 i$ .

$\frac{1 (10.92893218) + 1 (34.24264068 i)}{38}$

Étape 7

Factorisez $1$ à partir de $1 (10.92893218) + 1 (34.24264068 i)$ .

$\frac{1 (10.92893218 + 34.24264068 i)}{38}$

Étape 8

Factorisez $38$ à partir de $38$ .

$\frac{1 (10.92893218 + 34.24264068 i)}{38 (1)}$

Étape 9

Séparez les fractions.

$\frac{1}{38} \cdot \frac{10.92893218 + 34.24264068 i}{1}$

Étape 10

Divisez $1$ par $38$ .

$0.02631578 \frac{10.92893218 + 34.24264068 i}{1}$

Étape 11

Divisez $10.92893218 + 34.24264068 i$ par $1$ .

$0.02631578 (10.92893218 + 34.24264068 i)$

Étape 12

Appliquez la propriété distributive.

$0.02631578 \cdot 10.92893218 + 0.02631578 (34.24264068 i)$

Étape 13

Multipliez $0.02631578$ par $10.92893218$ .

$0.28760347 + 0.02631578 (34.24264068 i)$

Étape 14

Multipliez $34.24264068$ par $0.02631578$ .

$0.28760347 + 0.90112212 i$