Mathématiques de base Exemples

$\sqrt{y^{5} - y^{2}} + \sqrt{81 y^{3} - 81}$

Étape 1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{5} - y^{2}$ .

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Étape 1.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{5}$ .

$\sqrt{y^{2} y^{3} - y^{2}} + \sqrt{81 y^{3} - 81}$

Étape 1.2

Factorisez $y^{2}$ à partir de $- y^{2}$ .

$\sqrt{y^{2} y^{3} + y^{2} \cdot - 1} + \sqrt{81 y^{3} - 81}$

Étape 1.3

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{2} y^{3} + y^{2} \cdot - 1$ .

$\sqrt{y^{2} (y^{3} - 1)} + \sqrt{81 y^{3} - 81}$

Étape 2

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$\sqrt{y^{2} (y^{3} - 1^{3})} + \sqrt{81 y^{3} - 81}$

Étape 3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = y$ et $b = 1$ .

$\sqrt{y^{2} ((y - 1) (y^{2} + y \cdot 1 + 1^{2}))} + \sqrt{81 y^{3} - 81}$

Étape 4

Factorisez.

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Étape 4.1

Simplifiez

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Étape 4.1.1

Multipliez $y$ par $1$ .

$\sqrt{y^{2} ((y - 1) (y^{2} + y + 1^{2}))} + \sqrt{81 y^{3} - 81}$

Étape 4.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{y^{2} ((y - 1) (y^{2} + y + 1))} + \sqrt{81 y^{3} - 81}$

Étape 4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$\sqrt{y^{2} (y - 1) (y^{2} + y + 1)} + \sqrt{81 y^{3} - 81}$

Étape 5

Réécrivez $y^{2} (y - 1) (y^{2} + y + 1)$ comme $y^{2} ((y - 1) (y^{2} + y + 1^{2}))$ .

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Étape 5.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\sqrt{y^{2} (y - 1) (y^{2} + y + 1^{2})} + \sqrt{81 y^{3} - 81}$

Étape 5.2

Ajoutez des parenthèses.

$\sqrt{y^{2} ((y - 1) (y^{2} + y + 1^{2}))} + \sqrt{81 y^{3} - 81}$

Étape 6

Extrayez les termes de sous le radical.

$y \sqrt{(y - 1) (y^{2} + y + 1^{2})} + \sqrt{81 y^{3} - 81}$

Étape 7

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$y \sqrt{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} + \sqrt{81 y^{3} - 81}$

Étape 8

Factorisez $81$ à partir de $81 y^{3} - 81$ .

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Étape 8.1

Factorisez $81$ à partir de $81 y^{3}$ .

$y \sqrt{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} + \sqrt{81 (y^{3}) - 81}$

Étape 8.2

Factorisez $81$ à partir de $- 81$ .

$y \sqrt{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} + \sqrt{81 (y^{3}) + 81 (- 1)}$

Étape 8.3

Factorisez $81$ à partir de $81 (y^{3}) + 81 (- 1)$ .

$y \sqrt{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} + \sqrt{81 (y^{3} - 1)}$

Étape 9

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$y \sqrt{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} + \sqrt{81 (y^{3} - 1^{3})}$

Étape 10

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = y$ et $b = 1$ .

$y \sqrt{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} + \sqrt{81 ((y - 1) (y^{2} + y \cdot 1 + 1^{2}))}$

Étape 11

Factorisez.

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Étape 11.1

Simplifiez

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Étape 11.1.1

Multipliez $y$ par $1$ .

$y \sqrt{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} + \sqrt{81 ((y - 1) (y^{2} + y + 1^{2}))}$

Étape 11.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$y \sqrt{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} + \sqrt{81 ((y - 1) (y^{2} + y + 1))}$

Étape 11.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$y \sqrt{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} + \sqrt{81 (y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

Étape 12

Réécrivez $81 (y - 1) (y^{2} + y + 1)$ comme ${(3^{2})}^{2} ((y - 1) (y^{2} + y + 1))$ .

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Étape 12.1

Réécrivez $81$ comme $9^{2}$ .

$y \sqrt{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} + \sqrt{9^{2} (y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

Étape 12.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$y \sqrt{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} + \sqrt{{(3^{2})}^{2} (y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

Étape 12.3

Ajoutez des parenthèses.

$y \sqrt{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} + \sqrt{{(3^{2})}^{2} ((y - 1) (y^{2} + y + 1))}$

Étape 13

Extrayez les termes de sous le radical.

$y \sqrt{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} + 3^{2} \sqrt{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

Étape 14

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$y \sqrt{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} + 9 \sqrt{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

Étape 15

Factorisez $\sqrt{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$ à partir de $y \sqrt{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} + 9 \sqrt{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$ .

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Étape 15.1

Factorisez $\sqrt{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$ à partir de $y \sqrt{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$ .

$\sqrt{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} y + 9 \sqrt{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

Étape 15.2

Factorisez $\sqrt{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$ à partir de $9 \sqrt{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$ .

$\sqrt{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} y + \sqrt{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} \cdot 9$

Étape 15.3

Factorisez $\sqrt{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$ à partir de $\sqrt{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} y + \sqrt{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} \cdot 9$ .

$\sqrt{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} (y + 9)$