Mathématiques de base Exemples

$y^{3} - 11 y - 6$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Étape 3

Remplacez $- 3$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 3$ est une racine du polynôme.

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Étape 3.1

Remplacez $- 3$ dans le polynôme.

${(- 3)}^{3} - 11 \cdot - 3 - 6$

Étape 3.2

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$- 27 - 11 \cdot - 3 - 6$

Étape 3.3

Multipliez $- 11$ par $- 3$ .

$- 27 + 33 - 6$

Étape 3.4

Additionnez $- 27$ et $33$ .

$6 - 6$

Étape 3.5

Soustrayez $6$ de $6$ .

$0$

Étape 4

Comme $- 3$ est une racine connue, divisez le polynôme par $y + 3$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{y^{3} - 11 y - 6}{y + 3}$

Étape 5

Divisez $y^{3} - 11 y - 6$ par $y + 3$ .

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Étape 5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$y$

$3$

$y^{3}$

$0 y^{2}$

$11 y$

$6$

Étape 5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $y^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $y$ .

					$y^{2}$
	$y$	+	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$11 y$	-	$6$

Étape 5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$y^{2}$
$y$	+	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$11 y$	-	$6$
			+	$y^{3}$	+	$3 y^{2}$

Étape 5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $y^{3} + 3 y^{2}$

				$y^{2}$
$y$	+	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$11 y$	-	$6$
			-	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$

Étape 5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$y^{2}$
$y$	+	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$11 y$	-	$6$
			-	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					-	$3 y^{2}$

Étape 5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$y^{2}$
$y$	+	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$11 y$	-	$6$
			-	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					-	$3 y^{2}$	-	$11 y$

Étape 5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 3 y^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $y$ .

				$y^{2}$	-	$3 y$
$y$	+	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$11 y$	-	$6$
			-	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					-	$3 y^{2}$	-	$11 y$

Étape 5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$y^{2}$	-	$3 y$
$y$	+	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$11 y$	-	$6$
			-	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					-	$3 y^{2}$	-	$11 y$
					-	$3 y^{2}$	-	$9 y$

Étape 5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 3 y^{2} - 9 y$

				$y^{2}$	-	$3 y$
$y$	+	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$11 y$	-	$6$
			-	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					-	$3 y^{2}$	-	$11 y$
					+	$3 y^{2}$	+	$9 y$

Étape 5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$y^{2}$	-	$3 y$
$y$	+	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$11 y$	-	$6$
			-	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					-	$3 y^{2}$	-	$11 y$
					+	$3 y^{2}$	+	$9 y$
							-	$2 y$

Étape 5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$y^{2}$	-	$3 y$
$y$	+	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$11 y$	-	$6$
			-	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					-	$3 y^{2}$	-	$11 y$
					+	$3 y^{2}$	+	$9 y$
							-	$2 y$	-	$6$

Étape 5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 2 y$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $y$ .

				$y^{2}$	-	$3 y$	-	$2$
$y$	+	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$11 y$	-	$6$
			-	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					-	$3 y^{2}$	-	$11 y$
					+	$3 y^{2}$	+	$9 y$
							-	$2 y$	-	$6$

Étape 5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$y^{2}$	-	$3 y$	-	$2$
$y$	+	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$11 y$	-	$6$
			-	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					-	$3 y^{2}$	-	$11 y$
					+	$3 y^{2}$	+	$9 y$
							-	$2 y$	-	$6$
							-	$2 y$	-	$6$

Étape 5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 2 y - 6$

				$y^{2}$	-	$3 y$	-	$2$
$y$	+	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$11 y$	-	$6$
			-	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					-	$3 y^{2}$	-	$11 y$
					+	$3 y^{2}$	+	$9 y$
							-	$2 y$	-	$6$
							+	$2 y$	+	$6$

Étape 5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$y^{2}$	-	$3 y$	-	$2$
$y$	+	$3$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$11 y$	-	$6$
			-	$y^{3}$	-	$3 y^{2}$
					-	$3 y^{2}$	-	$11 y$
					+	$3 y^{2}$	+	$9 y$
							-	$2 y$	-	$6$
							+	$2 y$	+	$6$
										$0$

Étape 5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$y^{2} - 3 y - 2$

Étape 6

Écrivez $y^{3} - 11 y - 6$ comme un ensemble de facteurs.

$(y + 3) (y^{2} - 3 y - 2)$