Mathématiques de base Exemples

${(m + n)}^{3} - {(m - n)}^{3}$

Étape 1

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = m + n$ et $b = m - n$ .

$(m + n - (m - n)) ({(m + n)}^{2} + (m + n) (m - n) + {(m - n)}^{2})$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$(m + n - m - - n) ({(m + n)}^{2} + (m + n) (m - n) + {(m - n)}^{2})$

Étape 2.2

Multipliez $- - n$ .

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Étape 2.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$(m + n - m + 1 n) ({(m + n)}^{2} + (m + n) (m - n) + {(m - n)}^{2})$

Étape 2.2.2

Multipliez $n$ par $1$ .

$(m + n - m + n) ({(m + n)}^{2} + (m + n) (m - n) + {(m - n)}^{2})$

Étape 2.3

Soustrayez $m$ de $m$ .

$(n + 0 + n) ({(m + n)}^{2} + (m + n) (m - n) + {(m - n)}^{2})$

Étape 2.4

Additionnez $n$ et $0$ .

$(n + n) ({(m + n)}^{2} + (m + n) (m - n) + {(m - n)}^{2})$

Étape 2.5

Additionnez $n$ et $n$ .

$2 n ({(m + n)}^{2} + (m + n) (m - n) + {(m - n)}^{2})$

Étape 2.6

Réécrivez ${(m + n)}^{2}$ comme $(m + n) (m + n)$ .

$2 n ((m + n) (m + n) + (m + n) (m - n) + {(m - n)}^{2})$

Étape 2.7

Développez $(m + n) (m + n)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 n (m (m + n) + n (m + n) + (m + n) (m - n) + {(m - n)}^{2})$

Étape 2.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 n (m \cdot m + m n + n (m + n) + (m + n) (m - n) + {(m - n)}^{2})$

Étape 2.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 n (m \cdot m + m n + n m + n \cdot n + (m + n) (m - n) + {(m - n)}^{2})$

Étape 2.8

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.8.1.1

Multipliez $m$ par $m$ .

$2 n (m^{2} + m n + n m + n \cdot n + (m + n) (m - n) + {(m - n)}^{2})$

Étape 2.8.1.2

Multipliez $n$ par $n$ .

$2 n (m^{2} + m n + n m + n^{2} + (m + n) (m - n) + {(m - n)}^{2})$

Étape 2.8.2

Additionnez $m n$ et $n m$ .

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Étape 2.8.2.1

Remettez dans l’ordre $n$ et $m$ .

$2 n (m^{2} + m n + m n + n^{2} + (m + n) (m - n) + {(m - n)}^{2})$

Étape 2.8.2.2

Additionnez $m n$ et $m n$ .

$2 n (m^{2} + 2 m n + n^{2} + (m + n) (m - n) + {(m - n)}^{2})$

Étape 2.9

Développez $(m + n) (m - n)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 n (m^{2} + 2 m n + n^{2} + m (m - n) + n (m - n) + {(m - n)}^{2})$

Étape 2.9.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 n (m^{2} + 2 m n + n^{2} + m \cdot m + m (- n) + n (m - n) + {(m - n)}^{2})$

Étape 2.9.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 n (m^{2} + 2 m n + n^{2} + m \cdot m + m (- n) + n m + n (- n) + {(m - n)}^{2})$

Étape 2.10

Associez les termes opposés dans $m \cdot m + m (- n) + n m + n (- n)$ .

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Étape 2.10.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $m (- n)$ et $n m$ .

$2 n (m^{2} + 2 m n + n^{2} + m \cdot m - m n + m n + n (- n) + {(m - n)}^{2})$

Étape 2.10.2

Additionnez $- m n$ et $m n$ .

$2 n (m^{2} + 2 m n + n^{2} + m \cdot m + 0 + n (- n) + {(m - n)}^{2})$

Étape 2.10.3

Additionnez $m \cdot m$ et $0$ .

$2 n (m^{2} + 2 m n + n^{2} + m \cdot m + n (- n) + {(m - n)}^{2})$

Étape 2.11

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.11.1

Multipliez $m$ par $m$ .

$2 n (m^{2} + 2 m n + n^{2} + m^{2} + n (- n) + {(m - n)}^{2})$

Étape 2.11.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 n (m^{2} + 2 m n + n^{2} + m^{2} - n \cdot n + {(m - n)}^{2})$

Étape 2.11.3

Multipliez $n$ par $n$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.11.3.1

Déplacez $n$ .

$2 n (m^{2} + 2 m n + n^{2} + m^{2} - (n \cdot n) + {(m - n)}^{2})$

Étape 2.11.3.2

Multipliez $n$ par $n$ .

$2 n (m^{2} + 2 m n + n^{2} + m^{2} - n^{2} + {(m - n)}^{2})$

Étape 2.12

Réécrivez ${(m - n)}^{2}$ comme $(m - n) (m - n)$ .

$2 n (m^{2} + 2 m n + n^{2} + m^{2} - n^{2} + (m - n) (m - n))$

Étape 2.13

Développez $(m - n) (m - n)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.13.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 n (m^{2} + 2 m n + n^{2} + m^{2} - n^{2} + m (m - n) - n (m - n))$

Étape 2.13.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 n (m^{2} + 2 m n + n^{2} + m^{2} - n^{2} + m \cdot m + m (- n) - n (m - n))$

Étape 2.13.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 n (m^{2} + 2 m n + n^{2} + m^{2} - n^{2} + m \cdot m + m (- n) - n m - n (- n))$

Étape 2.14

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.14.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.14.1.1

Multipliez $m$ par $m$ .

$2 n (m^{2} + 2 m n + n^{2} + m^{2} - n^{2} + m^{2} + m (- n) - n m - n (- n))$

Étape 2.14.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 n (m^{2} + 2 m n + n^{2} + m^{2} - n^{2} + m^{2} - m n - n m - n (- n))$

Étape 2.14.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 n (m^{2} + 2 m n + n^{2} + m^{2} - n^{2} + m^{2} - m n - n m - 1 \cdot - 1 n \cdot n)$

Étape 2.14.1.4

Multipliez $n$ par $n$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.14.1.4.1

Déplacez $n$ .

$2 n (m^{2} + 2 m n + n^{2} + m^{2} - n^{2} + m^{2} - m n - n m - 1 \cdot - 1 (n \cdot n))$

Étape 2.14.1.4.2

Multipliez $n$ par $n$ .

$2 n (m^{2} + 2 m n + n^{2} + m^{2} - n^{2} + m^{2} - m n - n m - 1 \cdot - 1 n^{2})$

Étape 2.14.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$2 n (m^{2} + 2 m n + n^{2} + m^{2} - n^{2} + m^{2} - m n - n m + 1 n^{2})$

Étape 2.14.1.6

Multipliez $n^{2}$ par $1$ .

$2 n (m^{2} + 2 m n + n^{2} + m^{2} - n^{2} + m^{2} - m n - n m + n^{2})$

Étape 2.14.2

Soustrayez $n m$ de $- m n$ .

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Étape 2.14.2.1

Déplacez $n$ .

$2 n (m^{2} + 2 m n + n^{2} + m^{2} - n^{2} + m^{2} - m n - 1 m n + n^{2})$

Étape 2.14.2.2

Soustrayez $m n$ de $- m n$ .

$2 n (m^{2} + 2 m n + n^{2} + m^{2} - n^{2} + m^{2} - 2 m n + n^{2})$

Étape 2.15

Additionnez $m^{2}$ et $m^{2}$ .

$2 n (2 m^{2} + 2 m n + n^{2} - n^{2} + m^{2} - 2 m n + n^{2})$

Étape 2.16

Additionnez $2 m^{2}$ et $m^{2}$ .

$2 n (3 m^{2} + 2 m n + n^{2} - n^{2} - 2 m n + n^{2})$

Étape 2.17

Soustrayez $2 m n$ de $2 m n$ .

$2 n (3 m^{2} + n^{2} - n^{2} + 0 + n^{2})$

Étape 2.18

Additionnez $3 m^{2}$ et $0$ .

$2 n (3 m^{2} + n^{2} - n^{2} + n^{2})$

Étape 2.19

Soustrayez $n^{2}$ de $n^{2}$ .

$2 n (3 m^{2} + 0 + n^{2})$

Étape 2.20

Additionnez $3 m^{2}$ et $0$ .

$2 n (3 m^{2} + n^{2})$