Mathématiques de base Exemples

$\frac{3 a}{a^{2} - 9} - \frac{2 b}{a b + 3 b} - \frac{b}{a b - 3 b}$

Étape 1

Factorisez $b$ à partir de $a b + 3 b$ .

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Étape 1.1

Factorisez $b$ à partir de $a b$ .

$\frac{3 a}{a^{2} - 9} - \frac{2 b}{b a + 3 b} - \frac{b}{a b - 3 b}$

Étape 1.2

Factorisez $b$ à partir de $3 b$ .

$\frac{3 a}{a^{2} - 9} - \frac{2 b}{b a + b \cdot 3} - \frac{b}{a b - 3 b}$

Étape 1.3

Factorisez $b$ à partir de $b a + b \cdot 3$ .

$\frac{3 a}{a^{2} - 9} - \frac{2 b}{b (a + 3)} - \frac{b}{a b - 3 b}$

Étape 2

Annulez le facteur commun de $b$ .

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Étape 2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 a}{a^{2} - 9} - \frac{2 b}{b (a + 3)} - \frac{b}{a b - 3 b}$

Étape 2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 a}{a^{2} - 9} - \frac{2}{a + 3} - \frac{b}{a b - 3 b}$

Étape 3

Factorisez $b$ à partir de $a b - 3 b$ .

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Étape 3.1

Factorisez $b$ à partir de $a b$ .

$\frac{3 a}{a^{2} - 9} - \frac{2}{a + 3} - \frac{b}{b a - 3 b}$

Étape 3.2

Factorisez $b$ à partir de $- 3 b$ .

$\frac{3 a}{a^{2} - 9} - \frac{2}{a + 3} - \frac{b}{b a + b \cdot - 3}$

Étape 3.3

Factorisez $b$ à partir de $b a + b \cdot - 3$ .

$\frac{3 a}{a^{2} - 9} - \frac{2}{a + 3} - \frac{b}{b (a - 3)}$

Étape 4

Annulez le facteur commun de $b$ .

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 a}{a^{2} - 9} - \frac{2}{a + 3} - \frac{b}{b (a - 3)}$

Étape 4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 a}{a^{2} - 9} - \frac{2}{a + 3} - \frac{1}{a - 3}$

Étape 5

Pour écrire $\frac{3 a}{a^{2} - 9}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{a + 3}{a + 3}$ .

$\frac{3 a}{a^{2} - 9} \cdot \frac{a + 3}{a + 3} - \frac{2}{a + 3} - \frac{1}{a - 3}$

Étape 6

Pour écrire $- \frac{2}{a + 3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{a^{2} - 9}{a^{2} - 9}$ .

$\frac{3 a}{a^{2} - 9} \cdot \frac{a + 3}{a + 3} - \frac{2}{a + 3} \cdot \frac{a^{2} - 9}{a^{2} - 9} - \frac{1}{a - 3}$

Étape 7

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(a^{2} - 9) (a + 3)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 7.1

Multipliez $\frac{3 a}{a^{2} - 9}$ par $\frac{a + 3}{a + 3}$ .

$\frac{3 a (a + 3)}{(a^{2} - 9) (a + 3)} - \frac{2}{a + 3} \cdot \frac{a^{2} - 9}{a^{2} - 9} - \frac{1}{a - 3}$

Étape 7.2

Multipliez $\frac{2}{a + 3}$ par $\frac{a^{2} - 9}{a^{2} - 9}$ .

$\frac{3 a (a + 3)}{(a^{2} - 9) (a + 3)} - \frac{2 (a^{2} - 9)}{(a + 3) (a^{2} - 9)} - \frac{1}{a - 3}$

Étape 7.3

Réorganisez les facteurs de $(a^{2} - 9) (a + 3)$ .

$\frac{3 a (a + 3)}{(a + 3) (a^{2} - 9)} - \frac{2 (a^{2} - 9)}{(a + 3) (a^{2} - 9)} - \frac{1}{a - 3}$

Étape 8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 a (a + 3) - 2 (a^{2} - 9)}{(a + 3) (a^{2} - 9)} - \frac{1}{a - 3}$

Étape 9

Pour écrire $\frac{3 a (a + 3) - 2 (a^{2} - 9)}{(a + 3) (a^{2} - 9)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{a - 3}{a - 3}$ .

$\frac{3 a (a + 3) - 2 (a^{2} - 9)}{(a + 3) (a^{2} - 9)} \cdot \frac{a - 3}{a - 3} - \frac{1}{a - 3}$

Étape 10

Pour écrire $- \frac{1}{a - 3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{(a + 3) (a^{2} - 9)}{(a + 3) (a^{2} - 9)}$ .

$\frac{3 a (a + 3) - 2 (a^{2} - 9)}{(a + 3) (a^{2} - 9)} \cdot \frac{a - 3}{a - 3} - \frac{1}{a - 3} \cdot \frac{(a + 3) (a^{2} - 9)}{(a + 3) (a^{2} - 9)}$

Étape 11

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(a + 3) (a^{2} - 9) (a - 3)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 11.1

Multipliez $\frac{3 a (a + 3) - 2 (a^{2} - 9)}{(a + 3) (a^{2} - 9)}$ par $\frac{a - 3}{a - 3}$ .

$\frac{(3 a (a + 3) - 2 (a^{2} - 9)) (a - 3)}{(a + 3) (a^{2} - 9) (a - 3)} - \frac{1}{a - 3} \cdot \frac{(a + 3) (a^{2} - 9)}{(a + 3) (a^{2} - 9)}$

Étape 11.2

Multipliez $\frac{1}{a - 3}$ par $\frac{(a + 3) (a^{2} - 9)}{(a + 3) (a^{2} - 9)}$ .

$\frac{(3 a (a + 3) - 2 (a^{2} - 9)) (a - 3)}{(a + 3) (a^{2} - 9) (a - 3)} - \frac{(a + 3) (a^{2} - 9)}{(a - 3) ((a + 3) (a^{2} - 9))}$

Étape 11.3

Réorganisez les facteurs de $(a + 3) (a^{2} - 9) (a - 3)$ .

$\frac{(3 a (a + 3) - 2 (a^{2} - 9)) (a - 3)}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)} - \frac{(a + 3) (a^{2} - 9)}{(a - 3) ((a + 3) (a^{2} - 9))}$

Étape 11.4

Réorganisez les facteurs de $(a - 3) ((a + 3) (a^{2} - 9))$ .

$\frac{(3 a (a + 3) - 2 (a^{2} - 9)) (a - 3)}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)} - \frac{(a + 3) (a^{2} - 9)}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Étape 12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(3 a (a + 3) - 2 (a^{2} - 9)) (a - 3) - (a + 3) (a^{2} - 9)}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Étape 13

Réécrivez $\frac{(3 a (a + 3) - 2 (a^{2} - 9)) (a - 3) - (a + 3) (a^{2} - 9)}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$ en forme factorisée.

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Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(3 a \cdot a + 3 a \cdot 3 - 2 (a^{2} - 9)) (a - 3) - (a + 3) (a^{2} - 9)}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Étape 13.1.2

Multipliez $a$ par $a$ en additionnant les exposants.

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Étape 13.1.2.1

Déplacez $a$ .

$\frac{(3 (a \cdot a) + 3 a \cdot 3 - 2 (a^{2} - 9)) (a - 3) - (a + 3) (a^{2} - 9)}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Étape 13.1.2.2

Multipliez $a$ par $a$ .

$\frac{(3 a^{2} + 3 a \cdot 3 - 2 (a^{2} - 9)) (a - 3) - (a + 3) (a^{2} - 9)}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Étape 13.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{(3 a^{2} + 9 a - 2 (a^{2} - 9)) (a - 3) - (a + 3) (a^{2} - 9)}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Étape 13.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(3 a^{2} + 9 a - 2 a^{2} - 2 \cdot - 9) (a - 3) - (a + 3) (a^{2} - 9)}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Étape 13.1.5

Multipliez $- 2$ par $- 9$ .

$\frac{(3 a^{2} + 9 a - 2 a^{2} + 18) (a - 3) - (a + 3) (a^{2} - 9)}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Étape 13.2

Soustrayez $2 a^{2}$ de $3 a^{2}$ .

$\frac{(a^{2} + 9 a + 18) (a - 3) - (a + 3) (a^{2} - 9)}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Étape 13.3

Développez $(a^{2} + 9 a + 18) (a - 3)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$\frac{a^{2} a + a^{2} \cdot - 3 + 9 a \cdot a + 9 a \cdot - 3 + 18 a + 18 \cdot - 3 - (a + 3) (a^{2} - 9)}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Étape 13.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.4.1

Multipliez $a^{2}$ par $a$ en additionnant les exposants.

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Étape 13.4.1.1

Multipliez $a^{2}$ par $a$ .

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Étape 13.4.1.1.1

Élevez $a$ à la puissance $1$ .

$\frac{a^{2} a^{1} + a^{2} \cdot - 3 + 9 a \cdot a + 9 a \cdot - 3 + 18 a + 18 \cdot - 3 - (a + 3) (a^{2} - 9)}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Étape 13.4.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{a^{2 + 1} + a^{2} \cdot - 3 + 9 a \cdot a + 9 a \cdot - 3 + 18 a + 18 \cdot - 3 - (a + 3) (a^{2} - 9)}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Étape 13.4.1.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{a^{3} + a^{2} \cdot - 3 + 9 a \cdot a + 9 a \cdot - 3 + 18 a + 18 \cdot - 3 - (a + 3) (a^{2} - 9)}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Étape 13.4.2

Déplacez $- 3$ à gauche de $a^{2}$ .

$\frac{a^{3} - 3 a^{2} + 9 a \cdot a + 9 a \cdot - 3 + 18 a + 18 \cdot - 3 - (a + 3) (a^{2} - 9)}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Étape 13.4.3

Multipliez $a$ par $a$ en additionnant les exposants.

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Étape 13.4.3.1

Déplacez $a$ .

$\frac{a^{3} - 3 a^{2} + 9 (a \cdot a) + 9 a \cdot - 3 + 18 a + 18 \cdot - 3 - (a + 3) (a^{2} - 9)}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Étape 13.4.3.2

Multipliez $a$ par $a$ .

$\frac{a^{3} - 3 a^{2} + 9 a^{2} + 9 a \cdot - 3 + 18 a + 18 \cdot - 3 - (a + 3) (a^{2} - 9)}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Étape 13.4.4

Multipliez $- 3$ par $9$ .

$\frac{a^{3} - 3 a^{2} + 9 a^{2} - 27 a + 18 a + 18 \cdot - 3 - (a + 3) (a^{2} - 9)}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Étape 13.4.5

Multipliez $18$ par $- 3$ .

$\frac{a^{3} - 3 a^{2} + 9 a^{2} - 27 a + 18 a - 54 - (a + 3) (a^{2} - 9)}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Étape 13.5

Additionnez $- 3 a^{2}$ et $9 a^{2}$ .

$\frac{a^{3} + 6 a^{2} - 27 a + 18 a - 54 - (a + 3) (a^{2} - 9)}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Étape 13.6

Additionnez $- 27 a$ et $18 a$ .

$\frac{a^{3} + 6 a^{2} - 9 a - 54 - (a + 3) (a^{2} - 9)}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Étape 13.7

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a^{3} + 6 a^{2} - 9 a - 54 + (- a - 1 \cdot 3) (a^{2} - 9)}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Étape 13.8

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{a^{3} + 6 a^{2} - 9 a - 54 + (- a - 3) (a^{2} - 9)}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Étape 13.9

Développez $(- a - 3) (a^{2} - 9)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 13.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a^{3} + 6 a^{2} - 9 a - 54 - a (a^{2} - 9) - 3 (a^{2} - 9)}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Étape 13.9.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a^{3} + 6 a^{2} - 9 a - 54 - a \cdot a^{2} - a \cdot - 9 - 3 (a^{2} - 9)}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Étape 13.9.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a^{3} + 6 a^{2} - 9 a - 54 - a \cdot a^{2} - a \cdot - 9 - 3 a^{2} - 3 \cdot - 9}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Étape 13.10

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.10.1

Multipliez $a$ par $a^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 13.10.1.1

Déplacez $a^{2}$ .

$\frac{a^{3} + 6 a^{2} - 9 a - 54 - (a^{2} a) - a \cdot - 9 - 3 a^{2} - 3 \cdot - 9}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Étape 13.10.1.2

Multipliez $a^{2}$ par $a$ .

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Étape 13.10.1.2.1

Élevez $a$ à la puissance $1$ .

$\frac{a^{3} + 6 a^{2} - 9 a - 54 - (a^{2} a^{1}) - a \cdot - 9 - 3 a^{2} - 3 \cdot - 9}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Étape 13.10.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{a^{3} + 6 a^{2} - 9 a - 54 - a^{2 + 1} - a \cdot - 9 - 3 a^{2} - 3 \cdot - 9}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Étape 13.10.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{a^{3} + 6 a^{2} - 9 a - 54 - a^{3} - a \cdot - 9 - 3 a^{2} - 3 \cdot - 9}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Étape 13.10.2

Multipliez $- 9$ par $- 1$ .

$\frac{a^{3} + 6 a^{2} - 9 a - 54 - a^{3} + 9 a - 3 a^{2} - 3 \cdot - 9}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Étape 13.10.3

Multipliez $- 3$ par $- 9$ .

$\frac{a^{3} + 6 a^{2} - 9 a - 54 - a^{3} + 9 a - 3 a^{2} + 27}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Étape 13.11

Soustrayez $a^{3}$ de $a^{3}$ .

$\frac{6 a^{2} - 9 a - 54 + 0 + 9 a - 3 a^{2} + 27}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Étape 13.12

Additionnez $6 a^{2}$ et $0$ .

$\frac{6 a^{2} - 9 a - 54 + 9 a - 3 a^{2} + 27}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Étape 13.13

Soustrayez $3 a^{2}$ de $6 a^{2}$ .

$\frac{3 a^{2} - 9 a - 54 + 9 a + 27}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Étape 13.14

Additionnez $- 9 a$ et $9 a$ .

$\frac{3 a^{2} + 0 - 54 + 27}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Étape 13.15

Additionnez $3 a^{2}$ et $0$ .

$\frac{3 a^{2} - 54 + 27}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Étape 13.16

Additionnez $- 54$ et $27$ .

$\frac{3 a^{2} - 27}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Étape 13.17

Réécrivez $3 a^{2} - 27$ en forme factorisée.

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Étape 13.17.1

Factorisez $3$ à partir de $3 a^{2} - 27$ .

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Étape 13.17.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 a^{2}$ .

$\frac{3 (a^{2}) - 27}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Étape 13.17.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 27$ .

$\frac{3 a^{2} + 3 \cdot - 9}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Étape 13.17.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 a^{2} + 3 \cdot - 9$ .

$\frac{3 (a^{2} - 9)}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Étape 13.17.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{3 (a^{2} - 3^{2})}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Étape 13.17.3

Factorisez.

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Étape 13.17.3.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = a$ et $b = 3$ .

$\frac{3 ((a + 3) (a - 3))}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Étape 13.17.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$\frac{3 (a + 3) (a - 3)}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 9)}$

Étape 13.18

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{3 (a + 3) (a - 3)}{(a + 3) (a - 3) (a^{2} - 3^{2})}$

Étape 13.19

Factorisez.

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Étape 13.19.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = a$ et $b = 3$ .

$\frac{3 (a + 3) (a - 3)}{(a + 3) (a - 3) ((a + 3) (a - 3))}$

Étape 13.19.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$\frac{3 (a + 3) (a - 3)}{(a + 3) (a - 3) (a + 3) (a - 3)}$

Étape 13.20

Associez les exposants.

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Étape 13.20.1

Élevez $a + 3$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 (a + 3) (a - 3)}{{(a + 3)}^{1} (a + 3) (a - 3) (a - 3)}$

Étape 13.20.2

Élevez $a + 3$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 (a + 3) (a - 3)}{{(a + 3)}^{1} {(a + 3)}^{1} (a - 3) (a - 3)}$

Étape 13.20.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 (a + 3) (a - 3)}{{(a + 3)}^{1 + 1} (a - 3) (a - 3)}$

Étape 13.20.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3 (a + 3) (a - 3)}{{(a + 3)}^{2} (a - 3) (a - 3)}$

Étape 13.20.5

Élevez $a - 3$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 (a + 3) (a - 3)}{{(a + 3)}^{2} ({(a - 3)}^{1} (a - 3))}$

Étape 13.20.6

Élevez $a - 3$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 (a + 3) (a - 3)}{{(a + 3)}^{2} ({(a - 3)}^{1} {(a - 3)}^{1})}$

Étape 13.20.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 (a + 3) (a - 3)}{{(a + 3)}^{2} {(a - 3)}^{1 + 1}}$

Étape 13.20.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3 (a + 3) (a - 3)}{{(a + 3)}^{2} {(a - 3)}^{2}}$

Étape 13.21

Réduisez l’expression $\frac{3 (a + 3) (a - 3)}{{(a + 3)}^{2} {(a - 3)}^{2}}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 13.21.1

Factorisez $a + 3$ à partir de $3 (a + 3) (a - 3)$ .

$\frac{(a + 3) (3 (a - 3))}{{(a + 3)}^{2} {(a - 3)}^{2}}$

Étape 13.21.2

Factorisez $a + 3$ à partir de ${(a + 3)}^{2} {(a - 3)}^{2}$ .

$\frac{(a + 3) (3 (a - 3))}{(a + 3) ((a + 3) {(a - 3)}^{2})}$

Étape 13.21.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{(a + 3) (3 (a - 3))}{(a + 3) ((a + 3) {(a - 3)}^{2})}$

Étape 13.21.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 (a - 3)}{(a + 3) {(a - 3)}^{2}}$

Étape 14

Réduisez l’expression $\frac{3 (a - 3)}{(a + 3) {(a - 3)}^{2}}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 14.1

Factorisez $a - 3$ à partir de $3 (a - 3)$ .

$\frac{(a - 3) \cdot 3}{(a + 3) {(a - 3)}^{2}}$

Étape 14.2

Factorisez $a - 3$ à partir de $(a + 3) {(a - 3)}^{2}$ .

$\frac{(a - 3) \cdot 3}{(a - 3) ((a + 3) (a - 3))}$

Étape 14.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{(a - 3) \cdot 3}{(a - 3) ((a + 3) (a - 3))}$

Étape 14.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{(a + 3) (a - 3)}$