Mathématiques de base Exemples

$\frac{1}{a^{2} - 1} - \frac{a - 1}{a^{2} + 3 a - 4}$

Étape 1

Factorisez $a^{2} + 3 a - 4$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 4$ et dont la somme est $3$ .

$- 1, 4$

Étape 1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{1}{a^{2} - 1} - \frac{a - 1}{(a - 1) (a + 4)}$

Étape 2

Annulez le facteur commun de $a - 1$ .

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Étape 2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{a^{2} - 1} - \frac{a - 1}{(a - 1) (a + 4)}$

Étape 2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{a^{2} - 1} - \frac{1}{a + 4}$

Étape 3

Pour écrire $\frac{1}{a^{2} - 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{a + 4}{a + 4}$ .

$\frac{1}{a^{2} - 1} \cdot \frac{a + 4}{a + 4} - \frac{1}{a + 4}$

Étape 4

Pour écrire $- \frac{1}{a + 4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{a^{2} - 1}{a^{2} - 1}$ .

$\frac{1}{a^{2} - 1} \cdot \frac{a + 4}{a + 4} - \frac{1}{a + 4} \cdot \frac{a^{2} - 1}{a^{2} - 1}$

Étape 5

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(a^{2} - 1) (a + 4)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.1

Multipliez $\frac{1}{a^{2} - 1}$ par $\frac{a + 4}{a + 4}$ .

$\frac{a + 4}{(a^{2} - 1) (a + 4)} - \frac{1}{a + 4} \cdot \frac{a^{2} - 1}{a^{2} - 1}$

Étape 5.2

Multipliez $\frac{1}{a + 4}$ par $\frac{a^{2} - 1}{a^{2} - 1}$ .

$\frac{a + 4}{(a^{2} - 1) (a + 4)} - \frac{a^{2} - 1}{(a + 4) (a^{2} - 1)}$

Étape 5.3

Réorganisez les facteurs de $(a^{2} - 1) (a + 4)$ .

$\frac{a + 4}{(a + 4) (a^{2} - 1)} - \frac{a^{2} - 1}{(a + 4) (a^{2} - 1)}$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{a + 4 - (a^{2} - 1)}{(a + 4) (a^{2} - 1)}$

Étape 7

Réécrivez $\frac{a + 4 - (a^{2} - 1)}{(a + 4) (a^{2} - 1)}$ en forme factorisée.

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Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a + 4 - a^{2} - - 1}{(a + 4) (a^{2} - 1)}$

Étape 7.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{a + 4 - a^{2} + 1}{(a + 4) (a^{2} - 1)}$

Étape 7.3

Additionnez $4$ et $1$ .

$\frac{a - a^{2} + 5}{(a + 4) (a^{2} - 1)}$

Étape 7.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- a^{2} + a + 5}{(a + 4) (a^{2} - 1)}$

Étape 7.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- a^{2} + a + 5$ .

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Étape 7.5.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- a^{2}$ .

$\frac{- (a^{2}) + a + 5}{(a + 4) (a^{2} - 1)}$

Étape 7.5.2

Factorisez $- 1$ à partir de $a$ .

$\frac{- (a^{2}) - 1 (- a) + 5}{(a + 4) (a^{2} - 1)}$

Étape 7.5.3

Réécrivez $5$ comme $- 1 (- 5)$ .

$\frac{- (a^{2}) - 1 (- a) - 1 (- 5)}{(a + 4) (a^{2} - 1)}$

Étape 7.5.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (a^{2}) - 1 (- a)$ .

$\frac{- (a^{2} - a) - 1 (- 5)}{(a + 4) (a^{2} - 1)}$

Étape 7.5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (a^{2} - a) - 1 (- 5)$ .

$\frac{- (a^{2} - a - 5)}{(a + 4) (a^{2} - 1)}$

Étape 7.6

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{- (a^{2} - a - 5)}{(a + 4) (a^{2} - 1^{2})}$

Étape 7.7

Factorisez.

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Étape 7.7.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = a$ et $b = 1$ .

$\frac{- (a^{2} - a - 5)}{(a + 4) ((a + 1) (a - 1))}$

Étape 7.7.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$\frac{- (a^{2} - a - 5)}{(a + 4) (a + 1) (a - 1)}$