Mathématiques de base Exemples

$\frac{a^{2} - 16 a + 64}{a^{2} - 64} \cdot \frac{a^{3} - 9 a^{2} + 8 a}{2 a^{2} - 128}$

Étape 1

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.1

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$\frac{a^{2} - 16 a + 8^{2}}{a^{2} - 64} \cdot \frac{a^{3} - 9 a^{2} + 8 a}{2 a^{2} - 128}$

Étape 1.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$16 a = 2 \cdot a \cdot 8$

Étape 1.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{a^{2} - 2 \cdot a \cdot 8 + 8^{2}}{a^{2} - 64} \cdot \frac{a^{3} - 9 a^{2} + 8 a}{2 a^{2} - 128}$

Étape 1.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = a$ et $b = 8$ .

$\frac{{(a - 8)}^{2}}{a^{2} - 64} \cdot \frac{a^{3} - 9 a^{2} + 8 a}{2 a^{2} - 128}$

Étape 2

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$\frac{{(a - 8)}^{2}}{a^{2} - 8^{2}} \cdot \frac{a^{3} - 9 a^{2} + 8 a}{2 a^{2} - 128}$

Étape 3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = a$ et $b = 8$ .

$\frac{{(a - 8)}^{2}}{(a + 8) (a - 8)} \cdot \frac{a^{3} - 9 a^{2} + 8 a}{2 a^{2} - 128}$

Étape 4

Réduisez l’expression $\frac{{(a - 8)}^{2}}{(a + 8) (a - 8)}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.1

Factorisez $a - 8$ à partir de ${(a - 8)}^{2}$ .

$\frac{(a - 8) (a - 8)}{(a + 8) (a - 8)} \cdot \frac{a^{3} - 9 a^{2} + 8 a}{2 a^{2} - 128}$

Étape 4.2

Factorisez $a - 8$ à partir de $(a + 8) (a - 8)$ .

$\frac{(a - 8) (a - 8)}{(a - 8) (a + 8)} \cdot \frac{a^{3} - 9 a^{2} + 8 a}{2 a^{2} - 128}$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{(a - 8) (a - 8)}{(a - 8) (a + 8)} \cdot \frac{a^{3} - 9 a^{2} + 8 a}{2 a^{2} - 128}$

Étape 4.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{a - 8}{a + 8} \cdot \frac{a^{3} - 9 a^{2} + 8 a}{2 a^{2} - 128}$

Étape 5

Factorisez $a$ à partir de $a^{3} - 9 a^{2} + 8 a$ .

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Étape 5.1

Factorisez $a$ à partir de $a^{3}$ .

$\frac{a - 8}{a + 8} \cdot \frac{a \cdot a^{2} - 9 a^{2} + 8 a}{2 a^{2} - 128}$

Étape 5.2

Factorisez $a$ à partir de $- 9 a^{2}$ .

$\frac{a - 8}{a + 8} \cdot \frac{a \cdot a^{2} + a (- 9 a) + 8 a}{2 a^{2} - 128}$

Étape 5.3

Factorisez $a$ à partir de $8 a$ .

$\frac{a - 8}{a + 8} \cdot \frac{a \cdot a^{2} + a (- 9 a) + a \cdot 8}{2 a^{2} - 128}$

Étape 5.4

Factorisez $a$ à partir de $a \cdot a^{2} + a (- 9 a)$ .

$\frac{a - 8}{a + 8} \cdot \frac{a (a^{2} - 9 a) + a \cdot 8}{2 a^{2} - 128}$

Étape 5.5

Factorisez $a$ à partir de $a (a^{2} - 9 a) + a \cdot 8$ .

$\frac{a - 8}{a + 8} \cdot \frac{a (a^{2} - 9 a + 8)}{2 a^{2} - 128}$

Étape 6

Factorisez.

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Étape 6.1

Factorisez $a^{2} - 9 a + 8$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 6.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $8$ et dont la somme est $- 9$ .

$- 8, - 1$

Étape 6.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{a - 8}{a + 8} \cdot \frac{a ((a - 8) (a - 1))}{2 a^{2} - 128}$

Étape 6.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$\frac{a - 8}{a + 8} \cdot \frac{a (a - 8) (a - 1)}{2 a^{2} - 128}$

Étape 7

Factorisez $2$ à partir de $2 a^{2} - 128$ .

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Étape 7.1

Factorisez $2$ à partir de $2 a^{2}$ .

$\frac{a - 8}{a + 8} \cdot \frac{a (a - 8) (a - 1)}{2 (a^{2}) - 128}$

Étape 7.2

Factorisez $2$ à partir de $- 128$ .

$\frac{a - 8}{a + 8} \cdot \frac{a (a - 8) (a - 1)}{2 a^{2} + 2 \cdot - 64}$

Étape 7.3

Factorisez $2$ à partir de $2 a^{2} + 2 \cdot - 64$ .

$\frac{a - 8}{a + 8} \cdot \frac{a (a - 8) (a - 1)}{2 (a^{2} - 64)}$

Étape 8

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$\frac{a - 8}{a + 8} \cdot \frac{a (a - 8) (a - 1)}{2 (a^{2} - 8^{2})}$

Étape 9

Factorisez.

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Étape 9.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = a$ et $b = 8$ .

$\frac{a - 8}{a + 8} \cdot \frac{a (a - 8) (a - 1)}{2 ((a + 8) (a - 8))}$

Étape 9.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$\frac{a - 8}{a + 8} \cdot \frac{a (a - 8) (a - 1)}{2 (a + 8) (a - 8)}$

Étape 10

Réduisez l’expression $\frac{a (a - 8) (a - 1)}{2 (a + 8) (a - 8)}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 10.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{a - 8}{a + 8} \cdot \frac{a (a - 8) (a - 1)}{2 (a + 8) (a - 8)}$

Étape 10.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{a - 8}{a + 8} \cdot \frac{a (a - 1)}{2 (a + 8)}$