Mathématiques de base Exemples

$\frac{6 z + 3 r}{7 z r^{2}} - \frac{2 z - 4 r}{z^{2} - r}$

Étape 1

Factorisez $2$ à partir de $2 z - 4 r$ .

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Étape 1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 z$ .

$\frac{6 z + 3 r}{7 z r^{2}} - \frac{2 (z) - 4 r}{z^{2} - r}$

Étape 1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 4 r$ .

$\frac{6 z + 3 r}{7 z r^{2}} - \frac{2 (z) + 2 (- 2 r)}{z^{2} - r}$

Étape 1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (z) + 2 (- 2 r)$ .

$\frac{6 z + 3 r}{7 z r^{2}} - \frac{2 (z - 2 r)}{z^{2} - r}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{6 z + 3 r}{7 z r^{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{z^{2} - r}{z^{2} - r}$ .

$\frac{6 z + 3 r}{7 z r^{2}} \cdot \frac{z^{2} - r}{z^{2} - r} - \frac{2 (z - 2 r)}{z^{2} - r}$

Étape 3

Pour écrire $- \frac{2 (z - 2 r)}{z^{2} - r}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{7 z r^{2}}{7 z r^{2}}$ .

$\frac{6 z + 3 r}{7 z r^{2}} \cdot \frac{z^{2} - r}{z^{2} - r} - \frac{2 (z - 2 r)}{z^{2} - r} \cdot \frac{7 z r^{2}}{7 z r^{2}}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $7 z (z^{2} - r) r^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{6 z + 3 r}{7 z r^{2}}$ par $\frac{z^{2} - r}{z^{2} - r}$ .

$\frac{(6 z + 3 r) (z^{2} - r)}{7 z r^{2} (z^{2} - r)} - \frac{2 (z - 2 r)}{z^{2} - r} \cdot \frac{7 z r^{2}}{7 z r^{2}}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{2 (z - 2 r)}{z^{2} - r}$ par $\frac{7 z r^{2}}{7 z r^{2}}$ .

$\frac{(6 z + 3 r) (z^{2} - r)}{7 z r^{2} (z^{2} - r)} - \frac{2 (z - 2 r) (7 z r^{2})}{(z^{2} - r) (7 z r^{2})}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $7 z r^{2} (z^{2} - r)$ .

$\frac{(6 z + 3 r) (z^{2} - r)}{7 r^{2} z (z^{2} - r)} - \frac{2 (z - 2 r) (7 z r^{2})}{(z^{2} - r) (7 z r^{2})}$

Étape 4.4

Réorganisez les facteurs de $(z^{2} - r) (7 z r^{2})$ .

$\frac{(6 z + 3 r) (z^{2} - r)}{7 r^{2} z (z^{2} - r)} - \frac{2 (z - 2 r) (7 z r^{2})}{7 r^{2} z (z^{2} - r)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(6 z + 3 r) (z^{2} - r) - 2 (z - 2 r) (7 z r^{2})}{7 r^{2} z (z^{2} - r)}$

Étape 6

Réécrivez $\frac{(6 z + 3 r) (z^{2} - r) - 2 (z - 2 r) (7 z r^{2})}{7 r^{2} z (z^{2} - r)}$ en forme factorisée.

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Étape 6.1

Développez $(6 z + 3 r) (z^{2} - r)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 z (z^{2} - r) + 3 r (z^{2} - r) - 2 (z - 2 r) (7 z r^{2})}{7 r^{2} z (z^{2} - r)}$

Étape 6.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 z \cdot z^{2} + 6 z (- r) + 3 r (z^{2} - r) - 2 (z - 2 r) (7 z r^{2})}{7 r^{2} z (z^{2} - r)}$

Étape 6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 z \cdot z^{2} + 6 z (- r) + 3 r z^{2} + 3 r (- r) - 2 (z - 2 r) (7 z r^{2})}{7 r^{2} z (z^{2} - r)}$

Étape 6.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1

Multipliez $z$ par $z^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.1.1

Déplacez $z^{2}$ .

$\frac{6 (z^{2} z) + 6 z (- r) + 3 r z^{2} + 3 r (- r) - 2 (z - 2 r) (7 z r^{2})}{7 r^{2} z (z^{2} - r)}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $z^{2}$ par $z$ .

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Étape 6.2.1.2.1

Élevez $z$ à la puissance $1$ .

$\frac{6 (z^{2} z^{1}) + 6 z (- r) + 3 r z^{2} + 3 r (- r) - 2 (z - 2 r) (7 z r^{2})}{7 r^{2} z (z^{2} - r)}$

Étape 6.2.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{6 z^{2 + 1} + 6 z (- r) + 3 r z^{2} + 3 r (- r) - 2 (z - 2 r) (7 z r^{2})}{7 r^{2} z (z^{2} - r)}$

Étape 6.2.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{6 z^{3} + 6 z (- r) + 3 r z^{2} + 3 r (- r) - 2 (z - 2 r) (7 z r^{2})}{7 r^{2} z (z^{2} - r)}$

Étape 6.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{6 z^{3} + 6 \cdot - 1 z r + 3 r z^{2} + 3 r (- r) - 2 (z - 2 r) (7 z r^{2})}{7 r^{2} z (z^{2} - r)}$

Étape 6.2.3

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$\frac{6 z^{3} - 6 z r + 3 r z^{2} + 3 r (- r) - 2 (z - 2 r) (7 z r^{2})}{7 r^{2} z (z^{2} - r)}$

Étape 6.2.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{6 z^{3} - 6 z r + 3 r z^{2} + 3 \cdot - 1 r \cdot r - 2 (z - 2 r) (7 z r^{2})}{7 r^{2} z (z^{2} - r)}$

Étape 6.2.5

Multipliez $r$ par $r$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.5.1

Déplacez $r$ .

$\frac{6 z^{3} - 6 z r + 3 r z^{2} + 3 \cdot - 1 (r \cdot r) - 2 (z - 2 r) (7 z r^{2})}{7 r^{2} z (z^{2} - r)}$

Étape 6.2.5.2

Multipliez $r$ par $r$ .

$\frac{6 z^{3} - 6 z r + 3 r z^{2} + 3 \cdot - 1 r^{2} - 2 (z - 2 r) (7 z r^{2})}{7 r^{2} z (z^{2} - r)}$

Étape 6.2.6

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{6 z^{3} - 6 z r + 3 r z^{2} - 3 r^{2} - 2 (z - 2 r) (7 z r^{2})}{7 r^{2} z (z^{2} - r)}$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 z^{3} - 6 z r + 3 r z^{2} - 3 r^{2} + (- 2 z - 2 (- 2 r)) (7 z r^{2})}{7 r^{2} z (z^{2} - r)}$

Étape 6.4

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$\frac{6 z^{3} - 6 z r + 3 r z^{2} - 3 r^{2} + (- 2 z + 4 r) (7 z r^{2})}{7 r^{2} z (z^{2} - r)}$

Étape 6.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 z^{3} - 6 z r + 3 r z^{2} - 3 r^{2} - 2 z (7 z r^{2}) + 4 r (7 z r^{2})}{7 r^{2} z (z^{2} - r)}$

Étape 6.6

Multipliez $z$ par $z$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.6.1

Déplacez $z$ .

$\frac{6 z^{3} - 6 z r + 3 r z^{2} - 3 r^{2} - 2 (z \cdot z) (7 r^{2}) + 4 r (7 z r^{2})}{7 r^{2} z (z^{2} - r)}$

Étape 6.6.2

Multipliez $z$ par $z$ .

$\frac{6 z^{3} - 6 z r + 3 r z^{2} - 3 r^{2} - 2 z^{2} (7 r^{2}) + 4 r (7 z r^{2})}{7 r^{2} z (z^{2} - r)}$

Étape 6.7

Multipliez $r$ par $r^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.7.1

Déplacez $r^{2}$ .

$\frac{6 z^{3} - 6 z r + 3 r z^{2} - 3 r^{2} - 2 z^{2} (7 r^{2}) + 4 (r^{2} r) (7 z)}{7 r^{2} z (z^{2} - r)}$

Étape 6.7.2

Multipliez $r^{2}$ par $r$ .

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Étape 6.7.2.1

Élevez $r$ à la puissance $1$ .

$\frac{6 z^{3} - 6 z r + 3 r z^{2} - 3 r^{2} - 2 z^{2} (7 r^{2}) + 4 (r^{2} r^{1}) (7 z)}{7 r^{2} z (z^{2} - r)}$

Étape 6.7.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{6 z^{3} - 6 z r + 3 r z^{2} - 3 r^{2} - 2 z^{2} (7 r^{2}) + 4 r^{2 + 1} (7 z)}{7 r^{2} z (z^{2} - r)}$

Étape 6.7.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{6 z^{3} - 6 z r + 3 r z^{2} - 3 r^{2} - 2 z^{2} (7 r^{2}) + 4 r^{3} (7 z)}{7 r^{2} z (z^{2} - r)}$

Étape 6.8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.8.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{6 z^{3} - 6 z r + 3 r z^{2} - 3 r^{2} - 2 \cdot 7 z^{2} r^{2} + 4 r^{3} (7 z)}{7 r^{2} z (z^{2} - r)}$

Étape 6.8.2

Multipliez $- 2$ par $7$ .

$\frac{6 z^{3} - 6 z r + 3 r z^{2} - 3 r^{2} - 14 z^{2} r^{2} + 4 r^{3} (7 z)}{7 r^{2} z (z^{2} - r)}$

Étape 6.8.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{6 z^{3} - 6 z r + 3 r z^{2} - 3 r^{2} - 14 z^{2} r^{2} + 4 \cdot 7 r^{3} z}{7 r^{2} z (z^{2} - r)}$

Étape 6.8.4

Multipliez $4$ par $7$ .

$\frac{6 z^{3} - 6 z r + 3 r z^{2} - 3 r^{2} - 14 z^{2} r^{2} + 28 r^{3} z}{7 r^{2} z (z^{2} - r)}$