Mathématiques de base Exemples

$n^{2} - \frac{m^{2}}{n^{2} - 2 m n + m^{2}}$

Étape 1

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.1

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 m n = 2 \cdot n \cdot m$

Étape 1.2

Réécrivez le polynôme.

$n^{2} - \frac{m^{2}}{n^{2} - 2 \cdot n \cdot m + m^{2}}$

Étape 1.3

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = n$ et $b = m$ .

$n^{2} - \frac{m^{2}}{{(n - m)}^{2}}$

Étape 2

Réécrivez $n^{2} - \frac{m^{2}}{{(n - m)}^{2}}$ en forme factorisée.

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Étape 2.1

Réécrivez $\frac{m^{2}}{{(n - m)}^{2}}$ comme ${(\frac{m}{n - m})}^{2}$ .

$n^{2} - {(\frac{m}{n - m})}^{2}$

Étape 2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = n$ et $b = \frac{m}{n - m}$ .

$(n + \frac{m}{n - m}) (n - \frac{m}{n - m})$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Pour écrire $n$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{n - m}{n - m}$ .

$(\frac{n (n - m)}{n - m} + \frac{m}{n - m}) (n - \frac{m}{n - m})$

Étape 2.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{n (n - m) + m}{n - m} (n - \frac{m}{n - m})$

Étape 2.3.3

Réécrivez $\frac{n (n - m) + m}{n - m}$ en forme factorisée.

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Étape 2.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{n \cdot n + n (- m) + m}{n - m} (n - \frac{m}{n - m})$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $n$ par $n$ .

$\frac{n^{2} + n (- m) + m}{n - m} (n - \frac{m}{n - m})$

Étape 2.3.3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{n^{2} - n m + m}{n - m} (n - \frac{m}{n - m})$

Étape 2.3.4

Pour écrire $n$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{n - m}{n - m}$ .

$\frac{n^{2} - n m + m}{n - m} (\frac{n (n - m)}{n - m} - \frac{m}{n - m})$

Étape 2.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{n^{2} - n m + m}{n - m} \cdot \frac{n (n - m) - m}{n - m}$

Étape 2.3.6

Réécrivez $\frac{n (n - m) - m}{n - m}$ en forme factorisée.

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Étape 2.3.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{n^{2} - n m + m}{n - m} \cdot \frac{n \cdot n + n (- m) - m}{n - m}$

Étape 2.3.6.2

Multipliez $n$ par $n$ .

$\frac{n^{2} - n m + m}{n - m} \cdot \frac{n^{2} + n (- m) - m}{n - m}$

Étape 2.3.6.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{n^{2} - n m + m}{n - m} \cdot \frac{n^{2} - n m - m}{n - m}$