Mathématiques de base Exemples

$\frac{27^{n + 3} \cdot 9^{n + 4}}{3^{n + 1} \cdot 81^{n + 2}}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $27$ comme $3^{3}$ .

$\frac{{(3^{3})}^{n + 3} \cdot 9^{n + 4}}{3^{n + 1} \cdot 81^{n + 2}}$

Étape 1.2

Multipliez les exposants dans ${(3^{3})}^{n + 3}$ .

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Étape 1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3^{3 (n + 3)} \cdot 9^{n + 4}}{3^{n + 1} \cdot 81^{n + 2}}$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3^{3 n + 3 \cdot 3} \cdot 9^{n + 4}}{3^{n + 1} \cdot 81^{n + 2}}$

Étape 1.2.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{3^{3 n + 9} \cdot 9^{n + 4}}{3^{n + 1} \cdot 81^{n + 2}}$

Étape 1.3

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{3^{3 n + 9} \cdot {(3^{2})}^{n + 4}}{3^{n + 1} \cdot 81^{n + 2}}$

Étape 1.4

Multipliez les exposants dans ${(3^{2})}^{n + 4}$ .

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Étape 1.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3^{3 n + 9} \cdot 3^{2 (n + 4)}}{3^{n + 1} \cdot 81^{n + 2}}$

Étape 1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3^{3 n + 9} \cdot 3^{2 n + 2 \cdot 4}}{3^{n + 1} \cdot 81^{n + 2}}$

Étape 1.4.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{3^{3 n + 9} \cdot 3^{2 n + 8}}{3^{n + 1} \cdot 81^{n + 2}}$

Étape 1.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3^{3 n + 9 + 2 n + 8}}{3^{n + 1} \cdot 81^{n + 2}}$

Étape 1.6

Additionnez $3 n$ et $2 n$ .

$\frac{3^{5 n + 9 + 8}}{3^{n + 1} \cdot 81^{n + 2}}$

Étape 1.7

Additionnez $9$ et $8$ .

$\frac{3^{5 n + 17}}{3^{n + 1} \cdot 81^{n + 2}}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Réécrivez $81$ comme $3^{4}$ .

$\frac{3^{5 n + 17}}{3^{n + 1} \cdot {(3^{4})}^{n + 2}}$

Étape 2.2

Multipliez les exposants dans ${(3^{4})}^{n + 2}$ .

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Étape 2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3^{5 n + 17}}{3^{n + 1} \cdot 3^{4 (n + 2)}}$

Étape 2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3^{5 n + 17}}{3^{n + 1} \cdot 3^{4 n + 4 \cdot 2}}$

Étape 2.2.3

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{3^{5 n + 17}}{3^{n + 1} \cdot 3^{4 n + 8}}$

Étape 2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3^{5 n + 17}}{3^{n + 1 + 4 n + 8}}$

Étape 2.4

Additionnez $n$ et $4 n$ .

$\frac{3^{5 n + 17}}{3^{5 n + 1 + 8}}$

Étape 2.5

Additionnez $1$ et $8$ .

$\frac{3^{5 n + 17}}{3^{5 n + 9}}$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun à $3^{5 n + 17}$ et $3^{5 n + 9}$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $3^{5 n + 9}$ à partir de $3^{5 n + 17}$ .

$\frac{3^{5 n + 9} \cdot 3^{5 n + 17 - (5 n + 9)}}{3^{5 n + 9}}$

Étape 3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.2.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{3^{5 n + 9} \cdot 3^{5 n + 17 - (5 n + 9)}}{3^{5 n + 9} \cdot 1}$

Étape 3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3^{5 n + 9} \cdot 3^{5 n + 17 - (5 n + 9)}}{3^{5 n + 9} \cdot 1}$

Étape 3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3^{5 n + 17 - (5 n + 9)}}{1}$

Étape 3.1.2.4

Divisez $3^{5 n + 17 - (5 n + 9)}$ par $1$ .

$3^{5 n + 17 - (5 n + 9)}$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$3^{5 n + 17 - (5 n) - 1 \cdot 9}$

Étape 3.2.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$3^{5 n + 17 - 5 n - 1 \cdot 9}$

Étape 3.2.3

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$3^{5 n + 17 - 5 n - 9}$

Étape 3.3

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 3.3.1

Associez les termes opposés dans $5 n + 17 - 5 n - 9$ .

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Étape 3.3.1.1

Soustrayez $5 n$ de $5 n$ .

$3^{0 + 17 - 9}$

Étape 3.3.1.2

Additionnez $0$ et $17$ .

$3^{17 - 9}$

Étape 3.3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.2.1

Soustrayez $9$ de $17$ .

$3^{8}$

Étape 3.3.2.2

Élevez $3$ à la puissance $8$ .

$6561$