Mathématiques de base Exemples

$3$ , $7$ , $11$ , $15$

Étape 1

Déterminez la moyenne.

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Étape 1.1

La moyenne d’un ensemble de nombres est la somme divisée par le nombre de termes.

$\overline{x} = \frac{3 + 7 + 11 + 15}{4}$

Étape 1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.1

Additionnez $3$ et $7$ .

$\overline{x} = \frac{10 + 11 + 15}{4}$

Étape 1.2.2

Additionnez $10$ et $11$ .

$\overline{x} = \frac{21 + 15}{4}$

Étape 1.2.3

Additionnez $21$ et $15$ .

$\overline{x} = \frac{36}{4}$

Étape 1.3

Divisez $36$ par $4$ .

$\overline{x} = 9$

Étape 2

Simplifiez chaque valeur de la liste.

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Étape 2.1

Convertissez $3$ en une valeur décimale.

$3$

Étape 2.2

Convertissez $7$ en une valeur décimale.

$7$

Étape 2.3

Convertissez $11$ en une valeur décimale.

$11$

Étape 2.4

Convertissez $15$ en une valeur décimale.

$15$

Étape 2.5

Les valeurs simplifiées sont $3, 7, 11, 15$ .

$3, 7, 11, 15$

Étape 3

Définissez la formule pour l’écart-type de l’échantillon. L’écart-type d’un ensemble de valeurs est une mesure de la dispersion de ses valeurs.

$s = \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{\frac{{(x_{i} - x_{a v g})}^{2}}{n - 1}}$

Étape 4

Définissez la formule de l’écart-type pour cet ensemble de nombres.

$s = \sqrt{\frac{{(3 - 9)}^{2} + {(7 - 9)}^{2} + {(11 - 9)}^{2} + {(15 - 9)}^{2}}{4 - 1}}$

Étape 5

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.1

Soustrayez $9$ de $3$ .

$s = \sqrt{\frac{{(- 6)}^{2} + {(7 - 9)}^{2} + {(11 - 9)}^{2} + {(15 - 9)}^{2}}{4 - 1}}$

Étape 5.2

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$s = \sqrt{\frac{36 + {(7 - 9)}^{2} + {(11 - 9)}^{2} + {(15 - 9)}^{2}}{4 - 1}}$

Étape 5.3

Soustrayez $9$ de $7$ .

$s = \sqrt{\frac{36 + {(- 2)}^{2} + {(11 - 9)}^{2} + {(15 - 9)}^{2}}{4 - 1}}$

Étape 5.4

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$s = \sqrt{\frac{36 + 4 + {(11 - 9)}^{2} + {(15 - 9)}^{2}}{4 - 1}}$

Étape 5.5

Soustrayez $9$ de $11$ .

$s = \sqrt{\frac{36 + 4 + 2^{2} + {(15 - 9)}^{2}}{4 - 1}}$

Étape 5.6

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$s = \sqrt{\frac{36 + 4 + 4 + {(15 - 9)}^{2}}{4 - 1}}$

Étape 5.7

Soustrayez $9$ de $15$ .

$s = \sqrt{\frac{36 + 4 + 4 + 6^{2}}{4 - 1}}$

Étape 5.8

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$s = \sqrt{\frac{36 + 4 + 4 + 36}{4 - 1}}$

Étape 5.9

Additionnez $36$ et $4$ .

$s = \sqrt{\frac{40 + 4 + 36}{4 - 1}}$

Étape 5.10

Additionnez $40$ et $4$ .

$s = \sqrt{\frac{44 + 36}{4 - 1}}$

Étape 5.11

Additionnez $44$ et $36$ .

$s = \sqrt{\frac{80}{4 - 1}}$

Étape 5.12

Soustrayez $1$ de $4$ .

$s = \sqrt{\frac{80}{3}}$

Étape 5.13

Réécrivez $\sqrt{\frac{80}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{80}}{\sqrt{3}}$ .

$s = \frac{\sqrt{80}}{\sqrt{3}}$

Étape 5.14

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.14.1

Réécrivez $80$ comme $4^{2} \cdot 5$ .

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Étape 5.14.1.1

Factorisez $16$ à partir de $80$ .

$s = \frac{\sqrt{16 (5)}}{\sqrt{3}}$

Étape 5.14.1.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$s = \frac{\sqrt{4^{2} \cdot 5}}{\sqrt{3}}$

Étape 5.14.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$s = \frac{4 \sqrt{5}}{\sqrt{3}}$

Étape 5.15

Multipliez $\frac{4 \sqrt{5}}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$s = \frac{4 \sqrt{5}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 5.16

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.16.1

Multipliez $\frac{4 \sqrt{5}}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$s = \frac{4 \sqrt{5} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 5.16.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$s = \frac{4 \sqrt{5} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 5.16.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$s = \frac{4 \sqrt{5} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 5.16.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$s = \frac{4 \sqrt{5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 5.16.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$s = \frac{4 \sqrt{5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 5.16.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 5.16.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$s = \frac{4 \sqrt{5} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.16.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s = \frac{4 \sqrt{5} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.16.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$s = \frac{4 \sqrt{5} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.16.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.16.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$s = \frac{4 \sqrt{5} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.16.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$s = \frac{4 \sqrt{5} \sqrt{3}}{3}$

Étape 5.16.6.5

Évaluez l’exposant.

$s = \frac{4 \sqrt{5} \sqrt{3}}{3}$

Étape 5.17

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.17.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$s = \frac{4 \sqrt{3 \cdot 5}}{3}$

Étape 5.17.2

Multipliez $3$ par $5$ .

$s = \frac{4 \sqrt{15}}{3}$

Étape 6

L’écart-type devrait être arrondi à une décimale de plus que les données d’origine. Si les données d’origine étaient mélangées, arrondissez à une décimale de plus que la moins précise.

$5.2$