Mathématiques de base Exemples

$(1 - y) ((2 - y) (- 3 - y)) - 24 + 12 y = 0$

Étape 1

Simplifiez $(1 - y) (2 - y) (- 3 - y) - 24 + 12 y$ .

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

Développez $(1 - y) (2 - y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$(1 (2 - y) - y (2 - y)) (- 3 - y) - 24 + 12 y = 0$

Étape 1.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$(1 \cdot 2 + 1 (- y) - y (2 - y)) (- 3 - y) - 24 + 12 y = 0$

Étape 1.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$(1 \cdot 2 + 1 (- y) - y \cdot 2 - y (- y)) (- 3 - y) - 24 + 12 y = 0$

Étape 1.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.1.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$(2 + 1 (- y) - y \cdot 2 - y (- y)) (- 3 - y) - 24 + 12 y = 0$

Étape 1.1.2.1.2

Multipliez $- y$ par $1$ .

$(2 - y - y \cdot 2 - y (- y)) (- 3 - y) - 24 + 12 y = 0$

Étape 1.1.2.1.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$(2 - y - 2 y - y (- y)) (- 3 - y) - 24 + 12 y = 0$

Étape 1.1.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(2 - y - 2 y - 1 \cdot - 1 y \cdot y) (- 3 - y) - 24 + 12 y = 0$

Étape 1.1.2.1.5

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.2.1.5.1

Déplacez $y$ .

$(2 - y - 2 y - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)) (- 3 - y) - 24 + 12 y = 0$

Étape 1.1.2.1.5.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$(2 - y - 2 y - 1 \cdot - 1 y^{2}) (- 3 - y) - 24 + 12 y = 0$

Étape 1.1.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$(2 - y - 2 y + 1 y^{2}) (- 3 - y) - 24 + 12 y = 0$

Étape 1.1.2.1.7

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$(2 - y - 2 y + y^{2}) (- 3 - y) - 24 + 12 y = 0$

Étape 1.1.2.2

Soustrayez $2 y$ de $- y$ .

$(2 - 3 y + y^{2}) (- 3 - y) - 24 + 12 y = 0$

Étape 1.1.3

Développez $(2 - 3 y + y^{2}) (- 3 - y)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$2 \cdot - 3 + 2 (- y) - 3 y \cdot - 3 - 3 y (- y) + y^{2} \cdot - 3 + y^{2} (- y) - 24 + 12 y = 0$

Étape 1.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.4.1

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$- 6 + 2 (- y) - 3 y \cdot - 3 - 3 y (- y) + y^{2} \cdot - 3 + y^{2} (- y) - 24 + 12 y = 0$

Étape 1.1.4.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 6 - 2 y - 3 y \cdot - 3 - 3 y (- y) + y^{2} \cdot - 3 + y^{2} (- y) - 24 + 12 y = 0$

Étape 1.1.4.3

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$- 6 - 2 y + 9 y - 3 y (- y) + y^{2} \cdot - 3 + y^{2} (- y) - 24 + 12 y = 0$

Étape 1.1.4.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 6 - 2 y + 9 y - 3 \cdot - 1 y \cdot y + y^{2} \cdot - 3 + y^{2} (- y) - 24 + 12 y = 0$

Étape 1.1.4.5

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.4.5.1

Déplacez $y$ .

$- 6 - 2 y + 9 y - 3 \cdot - 1 (y \cdot y) + y^{2} \cdot - 3 + y^{2} (- y) - 24 + 12 y = 0$

Étape 1.1.4.5.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$- 6 - 2 y + 9 y - 3 \cdot - 1 y^{2} + y^{2} \cdot - 3 + y^{2} (- y) - 24 + 12 y = 0$

Étape 1.1.4.6

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$- 6 - 2 y + 9 y + 3 y^{2} + y^{2} \cdot - 3 + y^{2} (- y) - 24 + 12 y = 0$

Étape 1.1.4.7

Déplacez $- 3$ à gauche de $y^{2}$ .

$- 6 - 2 y + 9 y + 3 y^{2} - 3 \cdot y^{2} + y^{2} (- y) - 24 + 12 y = 0$

Étape 1.1.4.8

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 6 - 2 y + 9 y + 3 y^{2} - 3 y^{2} - y^{2} y - 24 + 12 y = 0$

Étape 1.1.4.9

Multipliez $y^{2}$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.4.9.1

Déplacez $y$ .

$- 6 - 2 y + 9 y + 3 y^{2} - 3 y^{2} - (y \cdot y^{2}) - 24 + 12 y = 0$

Étape 1.1.4.9.2

Multipliez $y$ par $y^{2}$ .

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Étape 1.1.4.9.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$- 6 - 2 y + 9 y + 3 y^{2} - 3 y^{2} - (y^{1} y^{2}) - 24 + 12 y = 0$

Étape 1.1.4.9.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 6 - 2 y + 9 y + 3 y^{2} - 3 y^{2} - y^{1 + 2} - 24 + 12 y = 0$

Étape 1.1.4.9.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$- 6 - 2 y + 9 y + 3 y^{2} - 3 y^{2} - y^{3} - 24 + 12 y = 0$

Étape 1.1.5

Associez les termes opposés dans $- 6 - 2 y + 9 y + 3 y^{2} - 3 y^{2} - y^{3}$ .

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Étape 1.1.5.1

Soustrayez $3 y^{2}$ de $3 y^{2}$ .

$- 6 - 2 y + 9 y + 0 - y^{3} - 24 + 12 y = 0$

Étape 1.1.5.2

Additionnez $- 6 - 2 y + 9 y$ et $0$ .

$- 6 - 2 y + 9 y - y^{3} - 24 + 12 y = 0$

Étape 1.1.6

Additionnez $- 2 y$ et $9 y$ .

$- 6 + 7 y - y^{3} - 24 + 12 y = 0$

Étape 1.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 1.2.1

Soustrayez $24$ de $- 6$ .

$7 y - y^{3} - 30 + 12 y = 0$

Étape 1.2.2

Additionnez $7 y$ et $12 y$ .

$19 y - y^{3} - 30 = 0$

Étape 2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $19 y - y^{3} - 30$ .

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Étape 2.1.1

Remettez dans l’ordre $19 y$ et $- y^{3}$ .

$- y^{3} + 19 y - 30 = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- y^{3}$ .

$- (y^{3}) + 19 y - 30 = 0$

Étape 2.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $19 y$ .

$- (y^{3}) - (- 19 y) - 30 = 0$

Étape 2.1.4

Réécrivez $- 30$ comme $- 1 (30)$ .

$- (y^{3}) - (- 19 y) - 1 \cdot 30 = 0$

Étape 2.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (y^{3}) - (- 19 y)$ .

$- (y^{3} - 19 y) - 1 \cdot 30 = 0$

Étape 2.1.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (y^{3} - 19 y) - 1 (30)$ .

$- (y^{3} - 19 y + 30) = 0$

Étape 2.2

Factorisez $y^{3} - 19 y + 30$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 2.2.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6$

$q = \pm 1$

Étape 2.2.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6$

Étape 2.2.3

Remplacez $2$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $2$ est une racine du polynôme.

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Étape 2.2.3.1

Remplacez $2$ dans le polynôme.

$2^{3} - 19 \cdot 2 + 30$

Étape 2.2.3.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$8 - 19 \cdot 2 + 30$

Étape 2.2.3.3

Multipliez $- 19$ par $2$ .

$8 - 38 + 30$

Étape 2.2.3.4

Soustrayez $38$ de $8$ .

$- 30 + 30$

Étape 2.2.3.5

Additionnez $- 30$ et $30$ .

$0$

Étape 2.2.4

Comme $2$ est une racine connue, divisez le polynôme par $y - 2$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{y^{3} - 19 y + 30}{y - 2}$

Étape 2.2.5

Divisez $y^{3} - 19 y + 30$ par $y - 2$ .

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Étape 2.2.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$y$

$2$

$y^{3}$

$0 y^{2}$

$19 y$

$30$

Étape 2.2.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $y^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $y$ .

					$y^{2}$
	$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$19 y$	+	$30$

Étape 2.2.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$y^{2}$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$19 y$	+	$30$
			+	$y^{3}$	-	$2 y^{2}$

Étape 2.2.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $y^{3} - 2 y^{2}$

				$y^{2}$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$19 y$	+	$30$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$

Étape 2.2.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$y^{2}$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$19 y$	+	$30$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$

Étape 2.2.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$y^{2}$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$19 y$	+	$30$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$19 y$

Étape 2.2.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 y^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $y$ .

				$y^{2}$	+	$2 y$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$19 y$	+	$30$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$19 y$

Étape 2.2.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$y^{2}$	+	$2 y$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$19 y$	+	$30$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$19 y$
					+	$2 y^{2}$	-	$4 y$

Étape 2.2.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 y^{2} - 4 y$

				$y^{2}$	+	$2 y$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$19 y$	+	$30$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$19 y$
					-	$2 y^{2}$	+	$4 y$

Étape 2.2.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$y^{2}$	+	$2 y$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$19 y$	+	$30$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$19 y$
					-	$2 y^{2}$	+	$4 y$
							-	$15 y$

Étape 2.2.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$y^{2}$	+	$2 y$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$19 y$	+	$30$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$19 y$
					-	$2 y^{2}$	+	$4 y$
							-	$15 y$	+	$30$

Étape 2.2.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 15 y$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $y$ .

				$y^{2}$	+	$2 y$	-	$15$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$19 y$	+	$30$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$19 y$
					-	$2 y^{2}$	+	$4 y$
							-	$15 y$	+	$30$

Étape 2.2.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$y^{2}$	+	$2 y$	-	$15$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$19 y$	+	$30$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$19 y$
					-	$2 y^{2}$	+	$4 y$
							-	$15 y$	+	$30$
							-	$15 y$	+	$30$

Étape 2.2.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 15 y + 30$

				$y^{2}$	+	$2 y$	-	$15$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$19 y$	+	$30$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$19 y$
					-	$2 y^{2}$	+	$4 y$
							-	$15 y$	+	$30$
							+	$15 y$	-	$30$

Étape 2.2.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$y^{2}$	+	$2 y$	-	$15$
$y$	-	$2$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$19 y$	+	$30$
			-	$y^{3}$	+	$2 y^{2}$
					+	$2 y^{2}$	-	$19 y$
					-	$2 y^{2}$	+	$4 y$
							-	$15 y$	+	$30$
							+	$15 y$	-	$30$
										$0$

Étape 2.2.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$y^{2} + 2 y - 15$

Étape 2.2.6

Écrivez $y^{3} - 19 y + 30$ comme un ensemble de facteurs.

$- ((y - 2) (y^{2} + 2 y - 15)) = 0$

Étape 2.3

Factorisez.

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Étape 2.3.1

Factorisez $y^{2} + 2 y - 15$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.3.1.1

Factorisez $y^{2} + 2 y - 15$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.3.1.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 15$ et dont la somme est $2$ .

$- 3, 5$

Étape 2.3.1.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- ((y - 2) ((y - 3) (y + 5))) = 0$

Étape 2.3.1.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- ((y - 2) (y - 3) (y + 5)) = 0$

Étape 2.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (y - 2) (y - 3) (y + 5) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$y - 2 = 0$

$y - 3 = 0$

$y + 5 = 0$

Étape 4

Définissez $y - 2$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 4.1

Définissez $y - 2$ égal à $0$ .

$y - 2 = 0$

Étape 4.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 2$

Étape 5

Définissez $y - 3$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 5.1

Définissez $y - 3$ égal à $0$ .

$y - 3 = 0$

Étape 5.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 3$

Étape 6

Définissez $y + 5$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 6.1

Définissez $y + 5$ égal à $0$ .

$y + 5 = 0$

Étape 6.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$y = - 5$

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- (y - 2) (y - 3) (y + 5) = 0$ vraie.

$y = 2, 3, - 5$