Mathématiques de base Exemples

\frac{8 p^{3} + 1}{4 p^{3} + 20 p^{2} - p - 5}

$\frac{8 p^{3} + 1}{4 p^{3} + 20 p^{2} - p - 5}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Réécrivez

8 p^{3}

$8 p^{3}$ comme

{(2 p)}^{3}

${(2 p)}^{3}$ .

\frac{{(2 p)}^{3} + 1}{4 p^{3} + 20 p^{2} - p - 5}

$\frac{{(2 p)}^{3} + 1}{4 p^{3} + 20 p^{2} - p - 5}$

Étape 1.2

Réécrivez

1

$1$ comme

1^{3}

$1^{3}$ .

\frac{{(2 p)}^{3} + 1^{3}}{4 p^{3} + 20 p^{2} - p - 5}

$\frac{{(2 p)}^{3} + 1^{3}}{4 p^{3} + 20 p^{2} - p - 5}$

Étape 1.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes,

a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})

$a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où

a = 2 p

$a = 2 p$ et

b = 1

$b = 1$ .

\frac{(2 p + 1) ({(2 p)}^{2} - (2 p) \cdot 1 + 1^{2})}{4 p^{3} + 20 p^{2} - p - 5}

$\frac{(2 p + 1) ({(2 p)}^{2} - (2 p) \cdot 1 + 1^{2})}{4 p^{3} + 20 p^{2} - p - 5}$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Appliquez la règle de produit à

2 p

$2 p$ .

\frac{(2 p + 1) (2^{2} p^{2} - (2 p) \cdot 1 + 1^{2})}{4 p^{3} + 20 p^{2} - p - 5}

$\frac{(2 p + 1) (2^{2} p^{2} - (2 p) \cdot 1 + 1^{2})}{4 p^{3} + 20 p^{2} - p - 5}$

Étape 1.4.2

Élevez

2

$2$ à la puissance

2

$2$ .

\frac{(2 p + 1) (4 p^{2} - (2 p) \cdot 1 + 1^{2})}{4 p^{3} + 20 p^{2} - p - 5}

$\frac{(2 p + 1) (4 p^{2} - (2 p) \cdot 1 + 1^{2})}{4 p^{3} + 20 p^{2} - p - 5}$

Étape 1.4.3

Multipliez

2

$2$ par

- 1

$- 1$ .

\frac{(2 p + 1) (4 p^{2} - 2 p \cdot 1 + 1^{2})}{4 p^{3} + 20 p^{2} - p - 5}

$\frac{(2 p + 1) (4 p^{2} - 2 p \cdot 1 + 1^{2})}{4 p^{3} + 20 p^{2} - p - 5}$

Étape 1.4.4

Multipliez

- 2

$- 2$ par

1

$1$ .

\frac{(2 p + 1) (4 p^{2} - 2 p + 1^{2})}{4 p^{3} + 20 p^{2} - p - 5}

$\frac{(2 p + 1) (4 p^{2} - 2 p + 1^{2})}{4 p^{3} + 20 p^{2} - p - 5}$

Étape 1.4.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

\frac{(2 p + 1) (4 p^{2} - 2 p + 1)}{4 p^{3} + 20 p^{2} - p - 5}

$\frac{(2 p + 1) (4 p^{2} - 2 p + 1)}{4 p^{3} + 20 p^{2} - p - 5}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(2 p + 1) (4 p^{2} - 2 p + 1)}{(4 p^{3} + 20 p^{2}) - p - 5}$

Étape 2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{(2 p + 1) (4 p^{2} - 2 p + 1)}{4 p^{2} (p + 5) - (p + 5)}$

Étape 2.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun,

$p + 5$ .

$\frac{(2 p + 1) (4 p^{2} - 2 p + 1)}{(p + 5) (4 p^{2} - 1)}$

Étape 2.3

Réécrivez

$4 p^{2}$ comme

${(2 p)}^{2}$ .

$\frac{(2 p + 1) (4 p^{2} - 2 p + 1)}{(p + 5) ({(2 p)}^{2} - 1)}$

Étape 2.4

Réécrivez

$1$ comme

$1^{2}$ .

$\frac{(2 p + 1) (4 p^{2} - 2 p + 1)}{(p + 5) ({(2 p)}^{2} - 1^{2})}$

Étape 2.5

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés,

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où

$a = 2 p$ et

$b = 1$ .

$\frac{(2 p + 1) (4 p^{2} - 2 p + 1)}{(p + 5) (2 p + 1) (2 p - 1)}$

Étape 3

Annulez le facteur commun de

$2 p + 1$ .

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(2 p + 1) (4 p^{2} - 2 p + 1)}{(p + 5) (2 p + 1) (2 p - 1)}$

Étape 3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 p^{2} - 2 p + 1}{(p + 5) (2 p - 1)}$