Algèbre Exemples

$f (x) = | x |$

Étape 1

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en évaluant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 2

Définissez l’argument dans la valeur absolue égal à $0$ afin de déterminer les valeurs potentielles sur lesquelles la solution peut être divisée.

$x = 0$

Étape 3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1

Créez des intervalles autour des solutions afin de déterminer où $x$ est positif et négatif.

$(- \infty, 0), (0, \infty)$

Étape 3.2

Remplacez une valeur de chaque intervalle dans $x$ pour déterminer où l’expression est positive ou négative.

$\begin{array}{c} Intervalle & Signe sur intervalle \\ (- \infty, 0) & - \\ (0, \infty) & + \end{array}$

Étape 3.3

Intégrez l’argument de la valeur absolue.

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Étape 3.3.1

Définissez l’intégrale avec l’argument de la valeur absolue.

$\int x d x$

Étape 3.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 3.4

Sur les intervalles où l’argument est négatif, multipliez la solution de l’intégrale par $- 1$ .

${\begin{cases} - (\frac{1}{2} x^{2} + C) & x \leq 0 \\ \frac{1}{2} x^{2} + C & x > 0 \end{cases}$

Étape 3.5

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

${\begin{cases} - (\frac{x^{2}}{2} + C) & x \leq 0 \\ \frac{1}{2} x^{2} + C & x > 0 \end{cases}$

Étape 3.6

Simplifiez

${\begin{cases} - \frac{x^{2}}{2} & x \leq 0 \\ \frac{x^{2}}{2} & x > 0 \end{cases} + C$

Étape 3.7

Simplifiez

${\begin{cases} - \frac{1}{2} x^{2} & x \leq 0 \\ \frac{1}{2} x^{2} & x > 0 \end{cases} + C$

Étape 4

La fonction $F$ si elle est dérivée de l’intégrale de la dérivée de la fonction. Cela est valide selon le théorème fondamental de l’analyse.

$F (x) = {\begin{cases} - \frac{1}{2} x^{2} & x \leq 0 \\ \frac{1}{2} x^{2} & x > 0 \end{cases} + C$