Algèbre Exemples

${(a + b)}^{10}$

Étape 1

Le triangle de Pascal peut être affiché ainsi :

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$\dots$

$1 - 8 - 28 - 56 - 70 - 56 - 28 - 8 - 1$

$1 - 9 - 36 - 84 - 126 - 126 - 84 - 36 - 9 - 1$

$1 - 10 - 45 - 120 - 210 - 252 - 210 - 120 - 45 - 10 - 1$

Le triangle peut être utilisé pour calculer les coefficients du développement de ${(a + b)}^{n}$ en prenant l’exposant $n$ et en ajoutant $1$ . Les coefficients correspondront à la droite $n + 1$ du triangle. Pour ${(a + b)}^{10}$ , $n = 10$ les coefficients du développement correspondront donc à la droite $11$ .

Étape 2

Le développement suit la règle ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Les valeurs des coefficients, à partir du triangle, sont $1 - 10 - 45 - 120 - 210 - 252 - 210 - 120 - 45 - 10 - 1$ .

$1 a^{10} b^{0} + 10 a^{9} b + 45 a^{8} b^{2} + 120 a^{7} b^{3} + 210 a^{6} b^{4} + 252 a^{5} b^{5} + 210 a^{4} b^{6} + 120 a^{3} b^{7} + 45 a^{2} b^{8} + 10 a b^{9} + 1 a^{0} b^{10}$

Étape 3

Remplacez les valeurs réelles de $a$ $a$ et $b$ $b$ dans l’expression.

$1 {(a)}^{10} {(b)}^{0} + 10 {(a)}^{9} {(b)}^{1} + 45 {(a)}^{8} {(b)}^{2} + 120 {(a)}^{7} {(b)}^{3} + 210 {(a)}^{6} {(b)}^{4} + 252 {(a)}^{5} {(b)}^{5} + 210 {(a)}^{4} {(b)}^{6} + 120 {(a)}^{3} {(b)}^{7} + 45 {(a)}^{2} {(b)}^{8} + 10 {(a)}^{1} {(b)}^{9} + 1 {(a)}^{0} {(b)}^{10}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Multipliez ${(a)}^{10}$ par $1$ .

${(a)}^{10} {(b)}^{0} + 10 {(a)}^{9} {(b)}^{1} + 45 {(a)}^{8} {(b)}^{2} + 120 {(a)}^{7} {(b)}^{3} + 210 {(a)}^{6} {(b)}^{4} + 252 {(a)}^{5} {(b)}^{5} + 210 {(a)}^{4} {(b)}^{6} + 120 {(a)}^{3} {(b)}^{7} + 45 {(a)}^{2} {(b)}^{8} + 10 {(a)}^{1} {(b)}^{9} + 1 {(a)}^{0} {(b)}^{10}$

Étape 4.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$a^{10} \cdot 1 + 10 {(a)}^{9} {(b)}^{1} + 45 {(a)}^{8} {(b)}^{2} + 120 {(a)}^{7} {(b)}^{3} + 210 {(a)}^{6} {(b)}^{4} + 252 {(a)}^{5} {(b)}^{5} + 210 {(a)}^{4} {(b)}^{6} + 120 {(a)}^{3} {(b)}^{7} + 45 {(a)}^{2} {(b)}^{8} + 10 {(a)}^{1} {(b)}^{9} + 1 {(a)}^{0} {(b)}^{10}$

Étape 4.3

Multipliez $a^{10}$ par $1$ .

$a^{10} + 10 {(a)}^{9} {(b)}^{1} + 45 {(a)}^{8} {(b)}^{2} + 120 {(a)}^{7} {(b)}^{3} + 210 {(a)}^{6} {(b)}^{4} + 252 {(a)}^{5} {(b)}^{5} + 210 {(a)}^{4} {(b)}^{6} + 120 {(a)}^{3} {(b)}^{7} + 45 {(a)}^{2} {(b)}^{8} + 10 {(a)}^{1} {(b)}^{9} + 1 {(a)}^{0} {(b)}^{10}$

Étape 4.4

Simplifiez

$a^{10} + 10 a^{9} b + 45 {(a)}^{8} {(b)}^{2} + 120 {(a)}^{7} {(b)}^{3} + 210 {(a)}^{6} {(b)}^{4} + 252 {(a)}^{5} {(b)}^{5} + 210 {(a)}^{4} {(b)}^{6} + 120 {(a)}^{3} {(b)}^{7} + 45 {(a)}^{2} {(b)}^{8} + 10 {(a)}^{1} {(b)}^{9} + 1 {(a)}^{0} {(b)}^{10}$

Étape 4.5

Simplifiez

$a^{10} + 10 a^{9} b + 45 a^{8} b^{2} + 120 a^{7} b^{3} + 210 a^{6} b^{4} + 252 a^{5} b^{5} + 210 a^{4} b^{6} + 120 a^{3} b^{7} + 45 a^{2} b^{8} + 10 a {(b)}^{9} + 1 {(a)}^{0} {(b)}^{10}$

Étape 4.6

Multipliez ${(a)}^{0}$ par $1$ .

$a^{10} + 10 a^{9} b + 45 a^{8} b^{2} + 120 a^{7} b^{3} + 210 a^{6} b^{4} + 252 a^{5} b^{5} + 210 a^{4} b^{6} + 120 a^{3} b^{7} + 45 a^{2} b^{8} + 10 a b^{9} + {(a)}^{0} {(b)}^{10}$

Étape 4.7

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$a^{10} + 10 a^{9} b + 45 a^{8} b^{2} + 120 a^{7} b^{3} + 210 a^{6} b^{4} + 252 a^{5} b^{5} + 210 a^{4} b^{6} + 120 a^{3} b^{7} + 45 a^{2} b^{8} + 10 a b^{9} + 1 {(b)}^{10}$

Étape 4.8

Multipliez ${(b)}^{10}$ par $1$ .

$a^{10} + 10 a^{9} b + 45 a^{8} b^{2} + 120 a^{7} b^{3} + 210 a^{6} b^{4} + 252 a^{5} b^{5} + 210 a^{4} b^{6} + 120 a^{3} b^{7} + 45 a^{2} b^{8} + 10 a b^{9} + b^{10}$