Algèbre Exemples

$(1, 2)$ , $(4, 2)$ , $(5, 2)$

Étape 1

Il y a deux équations générales pour une ellipse.

Équation d’ellipse horizontale $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Équation d’ellipse verticale $\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 2

$a$ est la distance entre le sommet $(5, 2)$ et le point central $(1, 2)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Utilisez la formule de distance pour déterminer la distance entre les deux points.

$Distance = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Étape 2.2

Remplacez les valeurs réelles des points dans la formule de distance.

$a = \sqrt{{(5 - 1)}^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

Étape 2.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Soustrayez $1$ de $5$ .

$a = \sqrt{4^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

Étape 2.3.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$a = \sqrt{16 + {(2 - 2)}^{2}}$

Étape 2.3.3

Soustrayez $2$ de $2$ .

$a = \sqrt{16 + 0^{2}}$

Étape 2.3.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$a = \sqrt{16 + 0}$

Étape 2.3.5

Additionnez $16$ et $0$ .

$a = \sqrt{16}$

Étape 2.3.6

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$a = \sqrt{4^{2}}$

Étape 2.3.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$a = 4$

Étape 3

$c$ est la distance entre le foyer $(4, 2)$ et le centre $(1, 2)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Utilisez la formule de distance pour déterminer la distance entre les deux points.

$Distance = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Étape 3.2

Remplacez les valeurs réelles des points dans la formule de distance.

$c = \sqrt{{(4 - 1)}^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Soustrayez $1$ de $4$ .

$c = \sqrt{3^{2} + {(2 - 2)}^{2}}$

Étape 3.3.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$c = \sqrt{9 + {(2 - 2)}^{2}}$

Étape 3.3.3

Soustrayez $2$ de $2$ .

$c = \sqrt{9 + 0^{2}}$

Étape 3.3.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$c = \sqrt{9 + 0}$

Étape 3.3.5

Additionnez $9$ et $0$ .

$c = \sqrt{9}$

Étape 3.3.6

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$c = \sqrt{3^{2}}$

Étape 3.3.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$c = 3$

Étape 4

Utilisation de l’équation $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ . Remplacez $a$ par $4$ et $c$ par $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme ${(4)}^{2} - b^{2} = 3^{2}$ .

${(4)}^{2} - b^{2} = 3^{2}$

Étape 4.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$16 - b^{2} = 3^{2}$

Étape 4.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$16 - b^{2} = 9$

Étape 4.4

Déplacez tous les termes ne contenant pas $b$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1

Soustrayez $16$ des deux côtés de l’équation.

$- b^{2} = 9 - 16$

Étape 4.4.2

Soustrayez $16$ de $9$ .

$- b^{2} = - 7$

Étape 4.5

Divisez chaque terme dans $- b^{2} = - 7$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.1

Divisez chaque terme dans $- b^{2} = - 7$ par $- 1$ .

$\frac{- b^{2}}{- 1} = \frac{- 7}{- 1}$

Étape 4.5.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{b^{2}}{1} = \frac{- 7}{- 1}$

Étape 4.5.2.2

Divisez $b^{2}$ par $1$ .

$b^{2} = \frac{- 7}{- 1}$

Étape 4.5.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.3.1

Divisez $- 7$ par $- 1$ .

$b^{2} = 7$

Étape 4.6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$b = \pm \sqrt{7}$

Étape 4.7

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.7.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$b = \sqrt{7}$

Étape 4.7.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$b = - \sqrt{7}$

Étape 4.7.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$b = \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

Étape 5

$b$ est une distance et devrait donc être un nombre positif.

$b = \sqrt{7}$

Étape 6

La pente de la droite entre le foyer $(4, 2)$ et le centre $(1, 2)$ détermine si l’ellipse est verticale ou horizontale. Si la pente est $0$ , le graphe est horizontal. Si la pente est indéfinie, le graphe est vertical.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

La pente est égale au changement de $y$ sur le changement de $x$ , ou différence des ordonnées sur différence des abscisses.

$m = \frac{changement en y}{changement en x}$

Étape 6.2

La variation de $x$ est égale à la différence des coordonnées x (également nommées abscisses), et la variation de $y$ est égale à la différence des coordonnées y (également nommées ordonnées).

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Étape 6.3

Remplacez les valeurs de $x$ et $y$ dans l’équation pour déterminer la pente.

$m = \frac{2 - (2)}{1 - (4)}$

Étape 6.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.1.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$m = \frac{2 - 2}{1 - (4)}$

Étape 6.4.1.2

Soustrayez $2$ de $2$ .

$m = \frac{0}{1 - (4)}$

Étape 6.4.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$m = \frac{0}{1 - 4}$

Étape 6.4.2.2

Soustrayez $4$ de $1$ .

$m = \frac{0}{- 3}$

Étape 6.4.3

Divisez $0$ par $- 3$ .

$m = 0$

Étape 6.5

L’équation générale pour une ellipse horizontale est $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ .

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 7

Remplacez les valeurs $h = 1$ , $k = 2$ , $a = 4$ et $b = \sqrt{7}$ dans $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ pour obtenir l’équation de l’ellipse $\frac{{(x - (1))}^{2}}{{(4)}^{2}} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(\sqrt{7})}^{2}} = 1$ .

$\frac{{(x - (1))}^{2}}{{(4)}^{2}} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(\sqrt{7})}^{2}} = 1$

Étape 8

Simplifiez pour déterminer l’équation finale de l’ellipse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{4^{2}} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(\sqrt{7})}^{2}} = 1$

Étape 8.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - (2))}^{2}}{{(\sqrt{7})}^{2}} = 1$

Étape 8.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{{\sqrt{7}}^{2}} = 1$

Étape 8.4

Réécrivez ${\sqrt{7}}^{2}$ comme $7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7}$ comme $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}} = 1$

Étape 8.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = 1$

Étape 8.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{7^{\frac{2}{2}}} = 1$

Étape 8.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{7^{\frac{2}{2}}} = 1$

Étape 8.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{7} = 1$

Étape 8.4.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 2)}^{2}}{7} = 1$

Étape 9