Algèbre Exemples

$1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27}$

Étape 1

C’est une séquence géométrique car il y a un rapport commun entre chaque terme. Dans ce cas, la multiplication du terme précédent dans la séquence par $\frac{1}{3}$ produit le terme suivant. En d’autres termes, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Séquence géométrique : $r = \frac{1}{3}$

Étape 2

C’est la forme d’une séquence géométrique.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Étape 3

Remplacez les valeurs de $a_{1} = 1$ et $r = \frac{1}{3}$ .

$a_{n} = 1 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$

Étape 4

Multipliez ${(\frac{1}{3})}^{n - 1}$ par $1$ .

$a_{n} = {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$

Étape 5

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$a_{n} = \frac{1^{n - 1}}{3^{n - 1}}$

Étape 6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$a_{n} = \frac{1}{3^{n - 1}}$

Étape 7

Cette formule permet de déterminer la somme des $n$ premiers termes de la séquence géométrique. Pour l’évaluer, déterminez les valeurs de $r$ et $a_{1}$ .

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

Étape 8

Remplacez les variables par les valeurs connues pour déterminer $S_{4}$ .

$S_{4} = 1 \cdot \frac{{(\frac{1}{3})}^{4} - 1}{\frac{1}{3} - 1}$

Étape 9

Multipliez $\frac{{(\frac{1}{3})}^{4} - 1}{\frac{1}{3} - 1}$ par $1$ .

$S_{4} = \frac{{(\frac{1}{3})}^{4} - 1}{\frac{1}{3} - 1}$

Étape 10

Multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction par $3$ .

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Étape 10.1

Multipliez $\frac{{(\frac{1}{3})}^{4} - 1}{\frac{1}{3} - 1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$S_{4} = \frac{3}{3} \cdot \frac{{(\frac{1}{3})}^{4} - 1}{\frac{1}{3} - 1}$

Étape 10.2

Associez.

$S_{4} = \frac{3 ({(\frac{1}{3})}^{4} - 1)}{3 (\frac{1}{3} - 1)}$

Étape 11

Appliquez la propriété distributive.

$S_{4} = \frac{3 {(\frac{1}{3})}^{4} + 3 \cdot - 1}{3 (\frac{1}{3}) + 3 \cdot - 1}$

Étape 12

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 12.1

Annulez le facteur commun.

$S_{4} = \frac{3 {(\frac{1}{3})}^{4} + 3 \cdot - 1}{3 (\frac{1}{3}) + 3 \cdot - 1}$

Étape 12.2

Réécrivez l’expression.

$S_{4} = \frac{3 {(\frac{1}{3})}^{4} + 3 \cdot - 1}{1 + 3 \cdot - 1}$

Étape 13

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$S_{4} = \frac{3 (\frac{1^{4}}{3^{4}}) + 3 \cdot - 1}{1 + 3 \cdot - 1}$

Étape 13.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 13.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3^{4}$ .

$S_{4} = \frac{3 (\frac{1^{4}}{3 \cdot 3^{3}}) + 3 \cdot - 1}{1 + 3 \cdot - 1}$

Étape 13.2.2

Annulez le facteur commun.

$S_{4} = \frac{3 (\frac{1^{4}}{3 \cdot 3^{3}}) + 3 \cdot - 1}{1 + 3 \cdot - 1}$

Étape 13.2.3

Réécrivez l’expression.

$S_{4} = \frac{\frac{1^{4}}{3^{3}} + 3 \cdot - 1}{1 + 3 \cdot - 1}$

Étape 13.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$S_{4} = \frac{\frac{1}{3^{3}} + 3 \cdot - 1}{1 + 3 \cdot - 1}$

Étape 13.4

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$S_{4} = \frac{\frac{1}{27} + 3 \cdot - 1}{1 + 3 \cdot - 1}$

Étape 13.5

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$S_{4} = \frac{\frac{1}{27} - 3}{1 + 3 \cdot - 1}$

Étape 13.6

Pour écrire $- 3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{27}{27}$ .

$S_{4} = \frac{\frac{1}{27} - 3 \cdot \frac{27}{27}}{1 + 3 \cdot - 1}$

Étape 13.7

Associez $- 3$ et $\frac{27}{27}$ .

$S_{4} = \frac{\frac{1}{27} + \frac{- 3 \cdot 27}{27}}{1 + 3 \cdot - 1}$

Étape 13.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$S_{4} = \frac{\frac{1 - 3 \cdot 27}{27}}{1 + 3 \cdot - 1}$

Étape 13.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.9.1

Multipliez $- 3$ par $27$ .

$S_{4} = \frac{\frac{1 - 81}{27}}{1 + 3 \cdot - 1}$

Étape 13.9.2

Soustrayez $81$ de $1$ .

$S_{4} = \frac{\frac{- 80}{27}}{1 + 3 \cdot - 1}$

Étape 13.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$S_{4} = \frac{- \frac{80}{27}}{1 + 3 \cdot - 1}$

Étape 14

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 14.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$S_{4} = \frac{- \frac{80}{27}}{1 - 3}$

Étape 14.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$S_{4} = \frac{- \frac{80}{27}}{- 2}$

Étape 15

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$S_{4} = - \frac{80}{27} \cdot \frac{1}{- 2}$

Étape 16

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 16.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{80}{27}$ dans le numérateur.

$S_{4} = \frac{- 80}{27} \cdot \frac{1}{- 2}$

Étape 16.2

Factorisez $2$ à partir de $- 80$ .

$S_{4} = \frac{2 (- 40)}{27} \cdot \frac{1}{- 2}$

Étape 16.3

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$S_{4} = \frac{2 \cdot - 40}{27} \cdot \frac{1}{2 \cdot - 1}$

Étape 16.4

Annulez le facteur commun.

$S_{4} = \frac{2 \cdot - 40}{27} \cdot \frac{1}{2 \cdot - 1}$

Étape 16.5

Réécrivez l’expression.

$S_{4} = \frac{- 40}{27} \cdot \frac{1}{- 1}$

Étape 17

Multipliez $\frac{- 40}{27}$ par $\frac{1}{- 1}$ .

$S_{4} = \frac{- 40}{27 \cdot - 1}$

Étape 18

Multipliez $27$ par $- 1$ .

$S_{4} = \frac{- 40}{- 27}$

Étape 19

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$S_{4} = \frac{40}{27}$