Algèbre Exemples

1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27}

$1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27}$

Étape 1

C’est une séquence géométrique car il y a un rapport commun entre chaque terme. Dans ce cas, la multiplication du terme précédent dans la séquence par

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ produit le terme suivant. En d’autres termes,

a_{n} = a_{1} r^{n - 1}

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Séquence géométrique :

r = \frac{1}{3}

$r = \frac{1}{3}$

Étape 2

C’est la forme d’une séquence géométrique.

a_{n} = a_{1} r^{n - 1}

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Étape 3

Remplacez les valeurs de

a_{1} = 1

$a_{1} = 1$ et

r = \frac{1}{3}

$r = \frac{1}{3}$ .

a_{n} = 1 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}

$a_{n} = 1 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$

Étape 4

Multipliez

{(\frac{1}{3})}^{n - 1}

${(\frac{1}{3})}^{n - 1}$ par

1

$1$ .

a_{n} = {(\frac{1}{3})}^{n - 1}

$a_{n} = {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$

Étape 5

Appliquez la règle de produit à

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ .

a_{n} = \frac{1^{n - 1}}{3^{n - 1}}

$a_{n} = \frac{1^{n - 1}}{3^{n - 1}}$

Étape 6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

a_{n} = \frac{1}{3^{n - 1}}

$a_{n} = \frac{1}{3^{n - 1}}$

Étape 7

Cette formule permet de déterminer la somme des

n

$n$ premiers termes de la séquence géométrique. Pour l’évaluer, déterminez les valeurs de

r

$r$ et

a_{1}

$a_{1}$ .

S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

Étape 8

Remplacez les variables par les valeurs connues pour déterminer

S_{4}

$S_{4}$ .

S_{4} = 1 \cdot \frac{{(\frac{1}{3})}^{4} - 1}{\frac{1}{3} - 1}

$S_{4} = 1 \cdot \frac{{(\frac{1}{3})}^{4} - 1}{\frac{1}{3} - 1}$

Étape 9

Multipliez

\frac{{(\frac{1}{3})}^{4} - 1}{\frac{1}{3} - 1}

$\frac{{(\frac{1}{3})}^{4} - 1}{\frac{1}{3} - 1}$ par

1

$1$ .

S_{4} = \frac{{(\frac{1}{3})}^{4} - 1}{\frac{1}{3} - 1}

$S_{4} = \frac{{(\frac{1}{3})}^{4} - 1}{\frac{1}{3} - 1}$

Étape 10

Multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction par

3

$3$ .

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Étape 10.1

Multipliez

\frac{{(\frac{1}{3})}^{4} - 1}{\frac{1}{3} - 1}

$\frac{{(\frac{1}{3})}^{4} - 1}{\frac{1}{3} - 1}$ par

\frac{3}{3}

$\frac{3}{3}$ .

S_{4} = \frac{3}{3} \cdot \frac{{(\frac{1}{3})}^{4} - 1}{\frac{1}{3} - 1}

$S_{4} = \frac{3}{3} \cdot \frac{{(\frac{1}{3})}^{4} - 1}{\frac{1}{3} - 1}$

Étape 10.2

Associez.

S_{4} = \frac{3 ({(\frac{1}{3})}^{4} - 1)}{3 (\frac{1}{3} - 1)}

$S_{4} = \frac{3 ({(\frac{1}{3})}^{4} - 1)}{3 (\frac{1}{3} - 1)}$

S_{4} = \frac{3 ({(\frac{1}{3})}^{4} - 1)}{3 (\frac{1}{3} - 1)}

$S_{4} = \frac{3 ({(\frac{1}{3})}^{4} - 1)}{3 (\frac{1}{3} - 1)}$

Étape 11

Appliquez la propriété distributive.

S_{4} = \frac{3 {(\frac{1}{3})}^{4} + 3 \cdot - 1}{3 (\frac{1}{3}) + 3 \cdot - 1}

$S_{4} = \frac{3 {(\frac{1}{3})}^{4} + 3 \cdot - 1}{3 (\frac{1}{3}) + 3 \cdot - 1}$

Étape 12

Annulez le facteur commun de

3

$3$ .

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Étape 12.1

Annulez le facteur commun.

$S_{4} = \frac{3 {(\frac{1}{3})}^{4} + 3 \cdot - 1}{3 (\frac{1}{3}) + 3 \cdot - 1}$

Étape 12.2

Réécrivez l’expression.

$S_{4} = \frac{3 {(\frac{1}{3})}^{4} + 3 \cdot - 1}{1 + 3 \cdot - 1}$

Étape 13

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.1

Appliquez la règle de produit à

$\frac{1}{3}$ .

$S_{4} = \frac{3 (\frac{1^{4}}{3^{4}}) + 3 \cdot - 1}{1 + 3 \cdot - 1}$

Étape 13.2

Annulez le facteur commun de

$3$ .

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Étape 13.2.1

Factorisez

$3$ à partir de

$3^{4}$ .

$S_{4} = \frac{3 (\frac{1^{4}}{3 \cdot 3^{3}}) + 3 \cdot - 1}{1 + 3 \cdot - 1}$

Étape 13.2.2

Annulez le facteur commun.

$S_{4} = \frac{3 (\frac{1^{4}}{3 \cdot 3^{3}}) + 3 \cdot - 1}{1 + 3 \cdot - 1}$

Étape 13.2.3

Réécrivez l’expression.

$S_{4} = \frac{\frac{1^{4}}{3^{3}} + 3 \cdot - 1}{1 + 3 \cdot - 1}$

Étape 13.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$S_{4} = \frac{\frac{1}{3^{3}} + 3 \cdot - 1}{1 + 3 \cdot - 1}$

Étape 13.4

Élevez

$3$ à la puissance

$3$ .

$S_{4} = \frac{\frac{1}{27} + 3 \cdot - 1}{1 + 3 \cdot - 1}$

Étape 13.5

Multipliez

$3$ par

$- 1$ .

$S_{4} = \frac{\frac{1}{27} - 3}{1 + 3 \cdot - 1}$

Étape 13.6

Pour écrire

$- 3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

$\frac{27}{27}$ .

$S_{4} = \frac{\frac{1}{27} - 3 \cdot \frac{27}{27}}{1 + 3 \cdot - 1}$

Étape 13.7

Associez

$- 3$ et

$\frac{27}{27}$ .

$S_{4} = \frac{\frac{1}{27} + \frac{- 3 \cdot 27}{27}}{1 + 3 \cdot - 1}$

Étape 13.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$S_{4} = \frac{\frac{1 - 3 \cdot 27}{27}}{1 + 3 \cdot - 1}$

Étape 13.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.9.1

Multipliez

$- 3$ par

$27$ .

$S_{4} = \frac{\frac{1 - 81}{27}}{1 + 3 \cdot - 1}$

Étape 13.9.2

Soustrayez

$81$ de

$1$ .

$S_{4} = \frac{\frac{- 80}{27}}{1 + 3 \cdot - 1}$

Étape 13.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$S_{4} = \frac{- \frac{80}{27}}{1 + 3 \cdot - 1}$

Étape 14

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 14.1

Multipliez

$3$ par

$- 1$ .

$S_{4} = \frac{- \frac{80}{27}}{1 - 3}$

Étape 14.2

Soustrayez

$3$ de

$1$ .

$S_{4} = \frac{- \frac{80}{27}}{- 2}$

Étape 15

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$S_{4} = - \frac{80}{27} \cdot \frac{1}{- 2}$

Étape 16

Annulez le facteur commun de

$2$ .

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Étape 16.1

Placez le signe négatif initial dans

$- \frac{80}{27}$ dans le numérateur.

$S_{4} = \frac{- 80}{27} \cdot \frac{1}{- 2}$

Étape 16.2

Factorisez

$2$ à partir de

$- 80$ .

$S_{4} = \frac{2 (- 40)}{27} \cdot \frac{1}{- 2}$

Étape 16.3

Factorisez

$2$ à partir de

$- 2$ .

$S_{4} = \frac{2 \cdot - 40}{27} \cdot \frac{1}{2 \cdot - 1}$

Étape 16.4

Annulez le facteur commun.

$S_{4} = \frac{2 \cdot - 40}{27} \cdot \frac{1}{2 \cdot - 1}$

Étape 16.5

Réécrivez l’expression.

$S_{4} = \frac{- 40}{27} \cdot \frac{1}{- 1}$

Étape 17

Multipliez

$\frac{- 40}{27}$ par

$\frac{1}{- 1}$ .

$S_{4} = \frac{- 40}{27 \cdot - 1}$

Étape 18

Multipliez

$27$ par

$- 1$ .

$S_{4} = \frac{- 40}{- 27}$

Étape 19

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$S_{4} = \frac{40}{27}$