Algèbre Exemples

{(v + w)}^{3}

${(v + w)}^{3}$

Étape 1

Le triangle de Pascal peut être affiché ainsi :

1

$1$

1 - 1

$1 - 1$

1 - 2 - 1

$1 - 2 - 1$

1 - 3 - 3 - 1

$1 - 3 - 3 - 1$

Le triangle peut être utilisé pour calculer les coefficients du développement de

{(a + b)}^{n}

${(a + b)}^{n}$ en prenant l’exposant

n

$n$ et en ajoutant

1

$1$ . Les coefficients correspondront à la droite

n + 1

$n + 1$ du triangle. Pour

{(v + w)}^{3}

${(v + w)}^{3}$ ,

n = 3

$n = 3$ les coefficients du développement correspondront donc à la droite

4

$4$ .

Étape 2

Le développement suit la règle

{(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}

${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Les valeurs des coefficients, à partir du triangle, sont

1 - 3 - 3 - 1

$1 - 3 - 3 - 1$ .

1 a^{3} b^{0} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + 1 a^{0} b^{3}

$1 a^{3} b^{0} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + 1 a^{0} b^{3}$

Étape 3

Remplacez les valeurs réelles de

a

$a$

v

$v$ et

b

$b$

w

$w$ dans l’expression.

1 {(v)}^{3} {(w)}^{0} + 3 {(v)}^{2} {(w)}^{1} + 3 {(v)}^{1} {(w)}^{2} + 1 {(v)}^{0} {(w)}^{3}

$1 {(v)}^{3} {(w)}^{0} + 3 {(v)}^{2} {(w)}^{1} + 3 {(v)}^{1} {(w)}^{2} + 1 {(v)}^{0} {(w)}^{3}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Multipliez

{(v)}^{3}

${(v)}^{3}$ par

1

$1$ .

{(v)}^{3} {(w)}^{0} + 3 {(v)}^{2} {(w)}^{1} + 3 {(v)}^{1} {(w)}^{2} + 1 {(v)}^{0} {(w)}^{3}

${(v)}^{3} {(w)}^{0} + 3 {(v)}^{2} {(w)}^{1} + 3 {(v)}^{1} {(w)}^{2} + 1 {(v)}^{0} {(w)}^{3}$

Étape 4.2

Tout ce qui est élevé à la puissance

0

$0$ est

1

$1$ .

$v^{3} \cdot 1 + 3 {(v)}^{2} {(w)}^{1} + 3 {(v)}^{1} {(w)}^{2} + 1 {(v)}^{0} {(w)}^{3}$

Étape 4.3

Multipliez

$v^{3}$ par

$1$ .

$v^{3} + 3 {(v)}^{2} {(w)}^{1} + 3 {(v)}^{1} {(w)}^{2} + 1 {(v)}^{0} {(w)}^{3}$

Étape 4.4

Simplifiez

$v^{3} + 3 v^{2} w + 3 {(v)}^{1} {(w)}^{2} + 1 {(v)}^{0} {(w)}^{3}$

Étape 4.5

Simplifiez

$v^{3} + 3 v^{2} w + 3 v {(w)}^{2} + 1 {(v)}^{0} {(w)}^{3}$

Étape 4.6

Multipliez

${(v)}^{0}$ par

$1$ .

$v^{3} + 3 v^{2} w + 3 v w^{2} + {(v)}^{0} {(w)}^{3}$

Étape 4.7

Tout ce qui est élevé à la puissance

$0$ est

$1$ .

$v^{3} + 3 v^{2} w + 3 v w^{2} + 1 {(w)}^{3}$

Étape 4.8

Multipliez

${(w)}^{3}$ par

$1$ .

$v^{3} + 3 v^{2} w + 3 v w^{2} + w^{3}$