Algèbre Exemples

$\frac{2 x}{x - 5}$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = \frac{2 y}{y - 5}$

Étape 2

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Multipliez l’équation par $y - 5$ .

$(y - 5) (x) = (\frac{2 y}{y - 5}) (y - 5)$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y x - 5 x = (\frac{2 y}{y - 5}) (y - 5)$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Annulez le facteur commun de $y - 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$y x - 5 x = \frac{2 y}{y - 5} (y - 5)$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$y x - 5 x = 2 y$

Étape 2.4

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Soustrayez $2 y$ des deux côtés de l’équation.

$y x - 5 x - 2 y = 0$

Étape 2.4.2

Ajoutez $5 x$ aux deux côtés de l’équation.

$y x - 2 y = 5 x$

Étape 2.4.3

Factorisez $y$ à partir de $y x - 2 y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.3.1

Factorisez $y$ à partir de $y x$ .

$y (x) - 2 y = 5 x$

Étape 2.4.3.2

Factorisez $y$ à partir de $- 2 y$ .

$y (x) + y \cdot - 2 = 5 x$

Étape 2.4.3.3

Factorisez $y$ à partir de $y (x) + y \cdot - 2$ .

$y (x - 2) = 5 x$

Étape 2.4.4

Divisez chaque terme dans $y (x - 2) = 5 x$ par $x - 2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.4.1

Divisez chaque terme dans $y (x - 2) = 5 x$ par $x - 2$ .

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{5 x}{x - 2}$

Étape 2.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{5 x}{x - 2}$

Étape 2.4.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{5 x}{x - 2}$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{x - 2}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{x - 2}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{2 x}{x - 5}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 5})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 5}) = \frac{5 (\frac{2 x}{x - 5})}{(\frac{2 x}{x - 5}) - 2}$

Étape 4.2.3

Associez $5$ et $\frac{2 x}{x - 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 5}) = \frac{\frac{5 (2 x)}{x - 5}}{\frac{2 x}{x - 5} - 2}$

Étape 4.2.4

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.4.1

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 5}) = \frac{\frac{5 (2 x)}{x - 5}}{\frac{2 x}{x - 5} - 2 \cdot \frac{x - 5}{x - 5}}$

Étape 4.2.4.2

Associez $- 2$ et $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 5}) = \frac{\frac{5 (2 x)}{x - 5}}{\frac{2 x}{x - 5} + \frac{- 2 (x - 5)}{x - 5}}$

Étape 4.2.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 5}) = \frac{\frac{5 (2 x)}{x - 5}}{\frac{2 x - 2 (x - 5)}{x - 5}}$

Étape 4.2.4.4

Réécrivez $\frac{2 x - 2 (x - 5)}{x - 5}$ en forme factorisée.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x - 2 (x - 5)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.4.4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 5}) = \frac{\frac{5 (2 x)}{x - 5}}{\frac{2 (x) - 2 (x - 5)}{x - 5}}$

Étape 4.2.4.4.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 (x - 5)$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 5}) = \frac{\frac{5 (2 x)}{x - 5}}{\frac{2 (x) + 2 (- (x - 5))}{x - 5}}$

Étape 4.2.4.4.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (x) + 2 (- (x - 5))$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 5}) = \frac{\frac{5 (2 x)}{x - 5}}{\frac{2 (x - (x - 5))}{x - 5}}$

Étape 4.2.4.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 5}) = \frac{\frac{5 (2 x)}{x - 5}}{\frac{2 (x - x + 5)}{x - 5}}$

Étape 4.2.4.4.3

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 5}) = \frac{\frac{5 (2 x)}{x - 5}}{\frac{2 (x - x + 5)}{x - 5}}$

Étape 4.2.4.4.4

Soustrayez $x$ de $x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 5}) = \frac{\frac{5 (2 x)}{x - 5}}{\frac{2 (0 + 5)}{x - 5}}$

Étape 4.2.4.4.5

Additionnez $0$ et $5$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 5}) = \frac{\frac{5 (2 x)}{x - 5}}{\frac{2 \cdot 5}{x - 5}}$

Étape 4.2.4.5

Multipliez $2$ par $5$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 5}) = \frac{\frac{5 (2 x)}{x - 5}}{\frac{10}{x - 5}}$

Étape 4.2.5

Multipliez $5$ par $2$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 5}) = \frac{\frac{10 x}{x - 5}}{\frac{10}{x - 5}}$

Étape 4.2.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 5}) = \frac{10 x}{x - 5} \cdot \frac{x - 5}{10}$

Étape 4.2.7

Annulez le facteur commun de $10$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.7.1

Factorisez $10$ à partir de $10 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 5}) = \frac{10 (x)}{x - 5} \cdot \frac{x - 5}{10}$

Étape 4.2.7.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 5}) = \frac{10 x}{x - 5} \cdot \frac{x - 5}{10}$

Étape 4.2.7.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 5}) = \frac{x}{x - 5} \cdot (x - 5)$

Étape 4.2.8

Annulez le facteur commun de $x - 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.8.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 5}) = \frac{x}{x - 5} \cdot (x - 5)$

Étape 4.2.8.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 5}) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\frac{5 x}{x - 2})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{5 x}{x - 2}) = \frac{2 (\frac{5 x}{x - 2})}{(\frac{5 x}{x - 2}) - 5}$

Étape 4.3.3

Associez $2$ et $\frac{5 x}{x - 2}$ .

$f (\frac{5 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (5 x)}{x - 2}}{\frac{5 x}{x - 2} - 5}$

Étape 4.3.4

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.4.1

Pour écrire $- 5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f (\frac{5 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (5 x)}{x - 2}}{\frac{5 x}{x - 2} - 5 \cdot \frac{x - 2}{x - 2}}$

Étape 4.3.4.2

Associez $- 5$ et $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f (\frac{5 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (5 x)}{x - 2}}{\frac{5 x}{x - 2} + \frac{- 5 (x - 2)}{x - 2}}$

Étape 4.3.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{5 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (5 x)}{x - 2}}{\frac{5 x - 5 (x - 2)}{x - 2}}$

Étape 4.3.4.4

Réécrivez $\frac{5 x - 5 (x - 2)}{x - 2}$ en forme factorisée.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.4.4.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x - 5 (x - 2)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.4.4.1.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x$ .

$f (\frac{5 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (5 x)}{x - 2}}{\frac{5 (x) - 5 (x - 2)}{x - 2}}$

Étape 4.3.4.4.1.2

Factorisez $5$ à partir de $- 5 (x - 2)$ .

$f (\frac{5 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (5 x)}{x - 2}}{\frac{5 (x) + 5 (- (x - 2))}{x - 2}}$

Étape 4.3.4.4.1.3

Factorisez $5$ à partir de $5 (x) + 5 (- (x - 2))$ .

$f (\frac{5 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (5 x)}{x - 2}}{\frac{5 (x - (x - 2))}{x - 2}}$

Étape 4.3.4.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{5 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (5 x)}{x - 2}}{\frac{5 (x - x + 2)}{x - 2}}$

Étape 4.3.4.4.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f (\frac{5 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (5 x)}{x - 2}}{\frac{5 (x - x + 2)}{x - 2}}$

Étape 4.3.4.4.4

Soustrayez $x$ de $x$ .

$f (\frac{5 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (5 x)}{x - 2}}{\frac{5 (0 + 2)}{x - 2}}$

Étape 4.3.4.4.5

Additionnez $0$ et $2$ .

$f (\frac{5 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (5 x)}{x - 2}}{\frac{5 \cdot 2}{x - 2}}$

Étape 4.3.4.5

Multipliez $5$ par $2$ .

$f (\frac{5 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (5 x)}{x - 2}}{\frac{10}{x - 2}}$

Étape 4.3.5

Multipliez $2$ par $5$ .

$f (\frac{5 x}{x - 2}) = \frac{\frac{10 x}{x - 2}}{\frac{10}{x - 2}}$

Étape 4.3.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{5 x}{x - 2}) = \frac{10 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{10}$

Étape 4.3.7

Annulez le facteur commun de $10$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.7.1

Factorisez $10$ à partir de $10 x$ .

$f (\frac{5 x}{x - 2}) = \frac{10 (x)}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{10}$

Étape 4.3.7.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5 x}{x - 2}) = \frac{10 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{10}$

Étape 4.3.7.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5 x}{x - 2}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

Étape 4.3.8

Annulez le facteur commun de $x - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.8.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5 x}{x - 2}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

Étape 4.3.8.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5 x}{x - 2}) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{x - 2}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{2 x}{x - 5}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{x - 2}$