Algèbre Exemples

$y = e^{5 x}$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = e^{5 y}$

Étape 2

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $e^{5 y} = x$ .

$e^{5 y} = x$

Étape 2.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{5 y}) = \ln (x)$

Étape 2.3

Développez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Développez $\ln (e^{5 y})$ en déplaçant $5 y$ hors du logarithme.

$5 y \ln (e) = \ln (x)$

Étape 2.3.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$5 y \cdot 1 = \ln (x)$

Étape 2.3.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$5 y = \ln (x)$

Étape 2.4

Divisez chaque terme dans $5 y = \ln (x)$ par $5$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Divisez chaque terme dans $5 y = \ln (x)$ par $5$ .

$\frac{5 y}{5} = \frac{\ln (x)}{5}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 y}{5} = \frac{\ln (x)}{5}$

Étape 2.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{5}$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{5}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{5}$ est l’inverse de $f (x) = e^{5 x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (e^{5 x})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{5 x}) = \frac{\ln (e^{5 x})}{5}$

Étape 4.2.3

Développez $\ln (e^{5 x})$ en déplaçant $5 x$ hors du logarithme.

$f^{- 1} (e^{5 x}) = \frac{5 x \ln (e)}{5}$

Étape 4.2.4

Annulez le facteur commun de $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (e^{5 x}) = \frac{5 x \ln (e)}{5}$

Étape 4.2.4.2

Divisez $x \ln (e)$ par $1$ .

$f^{- 1} (e^{5 x}) = x \ln (e)$

Étape 4.2.5

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$f^{- 1} (e^{5 x}) = x \cdot 1$

Étape 4.2.6

Multipliez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (e^{5 x}) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\frac{\ln (x)}{5})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{\ln (x)}{5}) = e^{5 (\frac{\ln (x)}{5})}$

Étape 4.3.3

Annulez le facteur commun de $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\ln (x)}{5}) = e^{5 (\frac{\ln (x)}{5})}$

Étape 4.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\ln (x)}{5}) = e^{\ln (x)}$

Étape 4.3.4

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f (\frac{\ln (x)}{5}) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{5}$ est l’inverse de $f (x) = e^{5 x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{5}$