Algèbre Exemples

f (x) = 2 x^{2} - 8

$f (x) = 2 x^{2} - 8$

Étape 1

Écrivez

$f (x) = 2 x^{2} - 8$ comme une équation.

$y = 2 x^{2} - 8$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = 2 y^{2} - 8$

Étape 3

Résolvez

$y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme

$2 y^{2} - 8 = x$ .

$2 y^{2} - 8 = x$

Étape 3.2

Ajoutez

$8$ aux deux côtés de l’équation.

$2 y^{2} = x + 8$

Étape 3.3

Divisez chaque terme dans

$2 y^{2} = x + 8$ par

$2$ et simplifiez.

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Étape 3.3.1

Divisez chaque terme dans

$2 y^{2} = x + 8$ par

$2$ .

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{8}{2}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de

$2$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{8}{2}$

Étape 3.3.2.1.2

Divisez

$y^{2}$ par

$1$ .

$y^{2} = \frac{x}{2} + \frac{8}{2}$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Divisez

$8$ par

$2$ .

$y^{2} = \frac{x}{2} + 4$

Étape 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{2} + 4}$

Étape 3.5

Simplifiez

$\pm \sqrt{\frac{x}{2} + 4}$ .

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Étape 3.5.1

Pour écrire

$4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

$\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{2} + 4 \cdot \frac{2}{2}}$

Étape 3.5.2

Associez

$4$ et

$\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2}}$

Étape 3.5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{\frac{x + 4 \cdot 2}{2}}$

Étape 3.5.4

Multipliez

$4$ par

$2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x + 8}{2}}$

Étape 3.5.5

Réécrivez

$\sqrt{\frac{x + 8}{2}}$ comme

$\frac{\sqrt{x + 8}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 8}}{\sqrt{2}}$

Étape 3.5.6

Multipliez

$\frac{\sqrt{x + 8}}{\sqrt{2}}$ par

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 8}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 3.5.7

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.5.7.1

Multipliez

$\frac{\sqrt{x + 8}}{\sqrt{2}}$ par

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 8} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 3.5.7.2

Élevez

$\sqrt{2}$ à la puissance

$1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 8} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 3.5.7.3

Élevez

$\sqrt{2}$ à la puissance

$1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 8} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 3.5.7.4

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 8} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 3.5.7.5

Additionnez

$1$ et

$1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 8} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 3.5.7.6

Réécrivez

${\sqrt{2}}^{2}$ comme

$2$ .

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Étape 3.5.7.6.1

Utilisez

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

$\sqrt{2}$ comme

$2^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 8} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.5.7.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 8} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.5.7.6.3

Associez

$\frac{1}{2}$ et

$2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 8} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.5.7.6.4

Annulez le facteur commun de

$2$ .

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Étape 3.5.7.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 8} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.5.7.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 8} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 3.5.7.6.5

Évaluez l’exposant.

$y = \pm \frac{\sqrt{x + 8} \sqrt{2}}{2}$

Étape 3.5.8

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y = \pm \frac{\sqrt{(x + 8) \cdot 2}}{2}$

Étape 3.5.9

Remettez les facteurs dans l’ordre dans

$\pm \frac{\sqrt{(x + 8) \cdot 2}}{2}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}$

Étape 3.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du

$\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}$

Étape 3.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du

$\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}$

Étape 3.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}$

Étape 4

Replace

$y$ with

$f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}$

Étape 5

Vérifiez si

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}$ est l’inverse de

$f (x) = 2 x^{2} - 8$ .

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Étape 5.1

Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de

$f (x) = 2 x^{2} - 8$ et

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}$ puis comparez-les.

Étape 5.2

Déterminez la plage de

$f (x) = 2 x^{2} - 8$ .

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Étape 5.2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs

$y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$[- 8, \infty)$

Étape 5.3

Déterminez le domaine de

$\frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}$ .

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Étape 5.3.1

Définissez le radicande dans

$\sqrt{2 (x + 8)}$ supérieur ou égal à

$0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$2 (x + 8) \geq 0$

Étape 5.3.2

Résolvez

$x$ .

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Étape 5.3.2.1

Divisez chaque terme dans

$2 (x + 8) \geq 0$ par

$2$ et simplifiez.

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Étape 5.3.2.1.1

Divisez chaque terme dans

$2 (x + 8) \geq 0$ par

$2$ .

$\frac{2 (x + 8)}{2} \geq \frac{0}{2}$

Étape 5.3.2.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1.2.1

Annulez le facteur commun de

$2$ .

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Étape 5.3.2.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (x + 8)}{2} \geq \frac{0}{2}$

Étape 5.3.2.1.2.1.2

Divisez

$x + 8$ par

$1$ .

$x + 8 \geq \frac{0}{2}$

Étape 5.3.2.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.1.3.1

Divisez

$0$ par

$2$ .

$x + 8 \geq 0$

Étape 5.3.2.2

Soustrayez

$8$ des deux côtés de l’inégalité.

$x \geq - 8$

Étape 5.3.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de

$x$ qui rendent l’expression définie.

$[- 8, \infty)$

Étape 5.4

Déterminez le domaine de

$f (x) = 2 x^{2} - 8$ .

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Étape 5.4.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

$(- \infty, \infty)$

Étape 5.5

Comme le domaine de

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}$ se trouve sur la plage de

$f (x) = 2 x^{2} - 8$ et comme la plage de

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}$ est le domaine de

$f (x) = 2 x^{2} - 8$ ,

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}$ est l’inverse de

$f (x) = 2 x^{2} - 8$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x + 8)}}{2}$

Étape 6