Algèbre Exemples

$f (x) = 2 x^{3} - 5$

Étape 1

Écrivez $f (x) = 2 x^{3} - 5$ comme une équation.

$y = 2 x^{3} - 5$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = 2 y^{3} - 5$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $2 y^{3} - 5 = x$ .

$2 y^{3} - 5 = x$

Étape 3.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$2 y^{3} = x + 5$

Étape 3.3

Divisez chaque terme dans $2 y^{3} = x + 5$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.3.1

Divisez chaque terme dans $2 y^{3} = x + 5$ par $2$ .

$\frac{2 y^{3}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{5}{2}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y^{3}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{5}{2}$

Étape 3.3.2.1.2

Divisez $y^{3}$ par $1$ .

$y^{3} = \frac{x}{2} + \frac{5}{2}$

Étape 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{2} + \frac{5}{2}}$

Étape 3.5

Simplifiez $\sqrt[3]{\frac{x}{2} + \frac{5}{2}}$ .

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Étape 3.5.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \sqrt[3]{\frac{x + 5}{2}}$

Étape 3.5.2

Réécrivez $\sqrt[3]{\frac{x + 5}{2}}$ comme $\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{\sqrt[3]{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5}}{\sqrt[3]{2}}$

Étape 3.5.3

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{\sqrt[3]{2}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Étape 3.5.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.5.4.1

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{\sqrt[3]{2}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Étape 3.5.4.2

Élevez $\sqrt[3]{2}$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Étape 3.5.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

Étape 3.5.4.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

Étape 3.5.4.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ comme $2$ .

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Étape 3.5.4.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{2}$ comme $2^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Étape 3.5.4.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Étape 3.5.4.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Étape 3.5.4.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.5.4.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Étape 3.5.4.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

Étape 3.5.4.5.5

Évaluez l’exposant.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

Étape 3.5.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.5.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

Étape 3.5.5.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5} \sqrt[3]{4}}{2}$

Étape 3.5.6

Simplifiez en factorisant.

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Étape 3.5.6.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y = \frac{\sqrt[3]{(x + 5) \cdot 4}}{2}$

Étape 3.5.6.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{\sqrt[3]{(x + 5) \cdot 4}}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2}$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2}$ est l’inverse de $f (x) = 2 x^{3} - 5$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (2 x^{3} - 5)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 x^{3} - 5) = \frac{\sqrt[3]{4 ((2 x^{3} - 5) + 5)}}{2}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.3.1

Additionnez $- 5$ et $5$ .

$f^{- 1} (2 x^{3} - 5) = \frac{\sqrt[3]{4 (2 x^{3} + 0)}}{2}$

Étape 5.2.3.2

Additionnez $2 x^{3}$ et $0$ .

$f^{- 1} (2 x^{3} - 5) = \frac{\sqrt[3]{4 \cdot (2 x^{3})}}{2}$

Étape 5.2.3.3

Multipliez $4$ par $2$ .

$f^{- 1} (2 x^{3} - 5) = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3}}}{2}$

Étape 5.2.3.4

Réécrivez $8 x^{3}$ comme ${(2 x)}^{3}$ .

$f^{- 1} (2 x^{3} - 5) = \frac{\sqrt[3]{{(2 x)}^{3}}}{2}$

Étape 5.2.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f^{- 1} (2 x^{3} - 5) = \frac{2 x}{2}$

Étape 5.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (2 x^{3} - 5) = \frac{2 x}{2}$

Étape 5.2.4.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (2 x^{3} - 5) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2}) = 2 {(\frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2})}^{3} - 5$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2}) = 2 (\frac{{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}^{3}}{2^{3}}) - 5$

Étape 5.3.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.3.2.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{4 (x + 5)}}^{3}$ comme $4 (x + 5)$ .

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Étape 5.3.3.2.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{4 (x + 5)}$ comme ${(4 (x + 5))}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2}) = 2 (\frac{{({(4 (x + 5))}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{2^{3}}) - 5$

Étape 5.3.3.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2}) = 2 (\frac{{(4 (x + 5))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{2^{3}}) - 5$

Étape 5.3.3.2.1.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2}) = 2 (\frac{{(4 (x + 5))}^{\frac{3}{3}}}{2^{3}}) - 5$

Étape 5.3.3.2.1.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.3.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2}) = 2 (\frac{{(4 (x + 5))}^{\frac{3}{3}}}{2^{3}}) - 5$

Étape 5.3.3.2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2}) = 2 (\frac{4 (x + 5)}{2^{3}}) - 5$

Étape 5.3.3.2.1.5

Simplifiez

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2}) = 2 (\frac{4 (x + 5)}{2^{3}}) - 5$

Étape 5.3.3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2}) = 2 (\frac{4 x + 4 \cdot 5}{2^{3}}) - 5$

Étape 5.3.3.2.3

Multipliez $4$ par $5$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2}) = 2 (\frac{4 x + 20}{2^{3}}) - 5$

Étape 5.3.3.2.4

Factorisez $4$ à partir de $4 x + 20$ .

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Étape 5.3.3.2.4.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2}) = 2 (\frac{4 (x) + 20}{2^{3}}) - 5$

Étape 5.3.3.2.4.2

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2}) = 2 (\frac{4 x + 4 \cdot 5}{2^{3}}) - 5$

Étape 5.3.3.2.4.3

Factorisez $4$ à partir de $4 x + 4 \cdot 5$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2}) = 2 (\frac{4 (x + 5)}{2^{3}}) - 5$

Étape 5.3.3.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2}) = 2 (\frac{4 (x + 5)}{8}) - 5$

Étape 5.3.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2}) = 2 (\frac{4 (x + 5)}{2 (4)}) - 5$

Étape 5.3.3.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2}) = 2 (\frac{4 (x + 5)}{2 \cdot 4}) - 5$

Étape 5.3.3.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2}) = \frac{4 (x + 5)}{4} - 5$

Étape 5.3.3.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.3.3.5.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2}) = \frac{4 (x + 5)}{4} - 5$

Étape 5.3.3.5.2

Divisez $x + 5$ par $1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2}) = x + 5 - 5$

Étape 5.3.4

Associez les termes opposés dans $x + 5 - 5$ .

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Étape 5.3.4.1

Soustrayez $5$ de $5$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2}) = x + 0$

Étape 5.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2}$ est l’inverse de $f (x) = 2 x^{3} - 5$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{4 (x + 5)}}{2}$