Algèbre Exemples

$(3, \frac{1}{64})$

Étape 1

Pour déterminer une fonction exponentielle, $f (x) = a^{x}$ , contenant le point, définissez $f (x)$ dans la fonction sur la valeur $y$ $\frac{1}{64}$ du point, et définissez $x$ sur la valeur $x$ $3$ du point.

$\frac{1}{64} = a^{3}$

Étape 2

Résolvez l’équation pour $a$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $a^{3} = \frac{1}{64}$ .

$a^{3} = \frac{1}{64}$

Étape 2.2

Soustrayez $\frac{1}{64}$ des deux côtés de l’équation.

$a^{3} - \frac{1}{64} = 0$

Étape 2.3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.3.1

Réécrivez $\frac{1}{64}$ comme ${(\frac{1}{4})}^{3}$ .

$a^{3} - {(\frac{1}{4})}^{3} = 0$

Étape 2.3.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = a$ et $b = \frac{1}{4}$ .

$(a - \frac{1}{4}) (a^{2} + a (\frac{1}{4}) + {(\frac{1}{4})}^{2}) = 0$

Étape 2.3.3

Simplifiez

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Étape 2.3.3.1

Associez $a$ et $\frac{1}{4}$ .

$(a - \frac{1}{4}) (a^{2} + \frac{a}{4} + {(\frac{1}{4})}^{2}) = 0$

Étape 2.3.3.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{4}$ .

$(a - \frac{1}{4}) (a^{2} + \frac{a}{4} + \frac{1^{2}}{4^{2}}) = 0$

Étape 2.3.3.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$(a - \frac{1}{4}) (a^{2} + \frac{a}{4} + \frac{1}{4^{2}}) = 0$

Étape 2.3.3.4

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$(a - \frac{1}{4}) (a^{2} + \frac{a}{4} + \frac{1}{16}) = 0$

Étape 2.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$a - \frac{1}{4} = 0$

$a^{2} + \frac{a}{4} + \frac{1}{16} = 0$

Étape 2.5

Définissez $a - \frac{1}{4}$ égal à $0$ et résolvez $a$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $a - \frac{1}{4}$ égal à $0$ .

$a - \frac{1}{4} = 0$

Étape 2.5.2

Ajoutez $\frac{1}{4}$ aux deux côtés de l’équation.

$a = \frac{1}{4}$

Étape 2.6

Définissez $a^{2} + \frac{a}{4} + \frac{1}{16}$ égal à $0$ et résolvez $a$ .

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Étape 2.6.1

Définissez $a^{2} + \frac{a}{4} + \frac{1}{16}$ égal à $0$ .

$a^{2} + \frac{a}{4} + \frac{1}{16} = 0$

Étape 2.6.2

Résolvez $a^{2} + \frac{a}{4} + \frac{1}{16} = 0$ pour $a$ .

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Étape 2.6.2.1

Multipliez par le plus petit dénominateur commun $16$ , puis simplifiez.

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Étape 2.6.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$16 a^{2} + 16 (\frac{a}{4}) + 16 (\frac{1}{16}) = 0$

Étape 2.6.2.1.2

Simplifiez

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Étape 2.6.2.1.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.6.2.1.2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$16 a^{2} + 4 (4) (\frac{a}{4}) + 16 (\frac{1}{16}) = 0$

Étape 2.6.2.1.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$16 a^{2} + 4 \cdot (4 (\frac{a}{4})) + 16 (\frac{1}{16}) = 0$

Étape 2.6.2.1.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$16 a^{2} + 4 a + 16 (\frac{1}{16}) = 0$

Étape 2.6.2.1.2.2

Annulez le facteur commun de $16$ .

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Étape 2.6.2.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$16 a^{2} + 4 a + 16 (\frac{1}{16}) = 0$

Étape 2.6.2.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$16 a^{2} + 4 a + 1 = 0$

Étape 2.6.2.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.6.2.3

Remplacez les valeurs $a = 16$ , $b = 4$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $a$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (16 \cdot 1)}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.6.2.4

Simplifiez

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Étape 2.6.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.2.4.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.6.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 16 \cdot 1$ .

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Étape 2.6.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $16$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.6.2.4.1.2.2

Multipliez $- 64$ par $1$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.6.2.4.1.3

Soustrayez $64$ de $16$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.6.2.4.1.4

Réécrivez $- 48$ comme $- 1 (48)$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.6.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (48)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.6.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.6.2.4.1.7

Réécrivez $48$ comme $4^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.6.2.4.1.7.1

Factorisez $16$ à partir de $48$ .

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.6.2.4.1.7.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.6.2.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Étape 2.6.2.4.1.9

Déplacez $4$ à gauche de $i$ .

$a = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.6.2.4.2

Multipliez $2$ par $16$ .

$a = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$

Étape 2.6.2.4.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$ .

$a = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{8}$

Étape 2.6.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 2.6.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.2.5.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.6.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 16 \cdot 1$ .

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Étape 2.6.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $16$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.6.2.5.1.2.2

Multipliez $- 64$ par $1$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.6.2.5.1.3

Soustrayez $64$ de $16$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.6.2.5.1.4

Réécrivez $- 48$ comme $- 1 (48)$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.6.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (48)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.6.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.6.2.5.1.7

Réécrivez $48$ comme $4^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.6.2.5.1.7.1

Factorisez $16$ à partir de $48$ .

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.6.2.5.1.7.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.6.2.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Étape 2.6.2.5.1.9

Déplacez $4$ à gauche de $i$ .

$a = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.6.2.5.2

Multipliez $2$ par $16$ .

$a = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$

Étape 2.6.2.5.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$ .

$a = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{8}$

Étape 2.6.2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$a = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{8}$

Étape 2.6.2.5.5

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$a = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{8}$

Étape 2.6.2.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $i \sqrt{3}$ .

$a = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{8}$

Étape 2.6.2.5.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ .

$a = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{8}$

Étape 2.6.2.5.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$a = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}$

Étape 2.6.2.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 2.6.2.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.2.6.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.6.2.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 16 \cdot 1$ .

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Étape 2.6.2.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $16$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.6.2.6.1.2.2

Multipliez $- 64$ par $1$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.6.2.6.1.3

Soustrayez $64$ de $16$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.6.2.6.1.4

Réécrivez $- 48$ comme $- 1 (48)$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.6.2.6.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (48)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$a = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.6.2.6.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.6.2.6.1.7

Réécrivez $48$ comme $4^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.6.2.6.1.7.1

Factorisez $16$ à partir de $48$ .

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.6.2.6.1.7.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.6.2.6.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$a = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Étape 2.6.2.6.1.9

Déplacez $4$ à gauche de $i$ .

$a = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Étape 2.6.2.6.2

Multipliez $2$ par $16$ .

$a = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$

Étape 2.6.2.6.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$ .

$a = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{8}$

Étape 2.6.2.6.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$a = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{8}$

Étape 2.6.2.6.5

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$a = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{8}$

Étape 2.6.2.6.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- i \sqrt{3}$ .

$a = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{8}$

Étape 2.6.2.6.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ .

$a = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{8}$

Étape 2.6.2.6.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$a = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$

Étape 2.6.2.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$a = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$

Étape 2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(a - \frac{1}{4}) (a^{2} + \frac{a}{4} + \frac{1}{16}) = 0$ vraie.

$a = \frac{1}{4}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$

Étape 2.8

Supprimez toutes les valeurs contenant des composants imaginaires.

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Étape 2.8.1

Il n’y a pas de composant imaginaire. Ajoutez $\frac{1}{4}$ à la réponse finale.

$\frac{1}{4}$ est un nombre réel

Étape 2.8.2

La lettre $i$ représente un composant imaginaire et ça n’est pas un nombre réel. N’ajoutez pas $- \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}$ à la réponse finale.

$- \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}$ n’est pas un nombre réel

Étape 2.8.3

La lettre $i$ représente un composant imaginaire et ça n’est pas un nombre réel. N’ajoutez pas $- \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$ à la réponse finale.

$- \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$ n’est pas un nombre réel

Étape 2.8.4

La réponse finale est la liste des valeurs ne contenant pas de composants imaginaires.

$a = \frac{1}{4}$

Étape 3

Remplacez à nouveau chaque valeur pour $a$ dans la fonction $f (x) = a^{x}$ pour déterminer chaque fonction exponentielle possible.

$f (x) = {(\frac{1}{4})}^{x}$