Algèbre Exemples

$- \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} i$

Étape 1

Associez $i$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}$

Étape 2

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où $| z |$ est le module et $θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 3

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où $z = a + b i$

Étape 4

Remplacez les valeurs réelles de $a = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ et $b = - \frac{1}{2}$ .

$| z | = \sqrt{{(- \frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Étape 5

Déterminez $| z |$ .

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Étape 5.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 5.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{2}$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Étape 5.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}}) + {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Étape 5.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{1 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) + {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Étape 5.3

Multipliez $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1^{2}}{2^{2}} + {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Étape 5.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{2^{2}} + {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Étape 5.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Étape 5.6

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 5.6.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + {(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Étape 5.6.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + {(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}})}$

Étape 5.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.7.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + 1 (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}})}$

Étape 5.7.2

Multipliez $\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}}$

Étape 5.8

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 5.8.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Étape 5.8.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Étape 5.8.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Étape 5.8.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.8.4.1

Annulez le facteur commun.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Étape 5.8.4.2

Réécrivez l’expression.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{2^{2}}}$

Étape 5.8.5

Évaluez l’exposant.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{2^{2}}}$

Étape 5.9

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.9.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}}$

Étape 5.9.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$| z | = \sqrt{\frac{1 + 3}{4}}$

Étape 5.9.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$| z | = \sqrt{\frac{4}{4}}$

Étape 5.9.4

Divisez $4$ par $4$ .

$| z | = \sqrt{1}$

Étape 5.9.5

Toute racine de $1$ est $1$ .

$| z | = 1$

Étape 6

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{- \frac{1}{2}}{- \frac{\sqrt{3}}{2}})$

Étape 7

Comme la tangente inverse de $\frac{- \frac{1}{2}}{- \frac{\sqrt{3}}{2}}$ produit un angle dans le troisième quadrant, la valeur de l’angle est $\frac{7 π}{6}$ .

$θ = \frac{7 π}{6}$

Étape 8

Remplacez les valeurs de $θ = \frac{7 π}{6}$ et $| z | = 1$ .

$\cos (\frac{7 π}{6}) + i \sin (\frac{7 π}{6})$