Algèbre Exemples

$f (x) = 3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12$

Étape 1

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ .

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Étape 1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

$q = \pm 1, \pm 3$

Étape 1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm \frac{1}{3}, \pm 2, \pm \frac{2}{3}, \pm 3, \pm 4, \pm \frac{4}{3}, \pm 6, \pm 12$

Étape 2

Appliquez la division synthétique sur $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x - 2}$ quand $x = 2$ .

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Étape 2.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

Étape 2.2

Le premier nombre dans le dividende $(3)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

Étape 2.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(3)$ par le diviseur $(2)$ et placez le résultat de $(6)$ sous le terme suivant dans le dividende $(3)$ .

$2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$6$
	$3$

Étape 2.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$6$
	$3$	$9$

Étape 2.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(9)$ par le diviseur $(2)$ et placez le résultat de $(18)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 1)$ .

$2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$6$	$18$
	$3$	$9$

Étape 2.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$6$	$18$
	$3$	$9$	$17$

Étape 2.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(17)$ par le diviseur $(2)$ et placez le résultat de $(34)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 12)$ .

$2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$6$	$18$	$34$
	$3$	$9$	$17$

Étape 2.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$6$	$18$	$34$
	$3$	$9$	$17$	$22$

Étape 2.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(22)$ par le diviseur $(2)$ et placez le résultat de $(44)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 12)$ .

$2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$6$	$18$	$34$	$44$
	$3$	$9$	$17$	$22$

Étape 2.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$6$	$18$	$34$	$44$
	$3$	$9$	$17$	$22$	$32$

Étape 2.11

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$3 x^{3} + 9 x^{2} + (17) x + 22 + \frac{32}{x - 2}$

Étape 2.12

Simplifiez le polynôme quotient.

$3 x^{3} + 9 x^{2} + 17 x + 22 + \frac{32}{x - 2}$

Étape 3

Comme $2 > 0$ et tous les signes de la ligne du bas de la division synthétique sont positifs, $2$ est une borne supérieure pour les racines réelles de la fonction.

Borne supérieure : $2$

Étape 4

Appliquez la division synthétique sur $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x + 2}$ quand $x = - 2$ .

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Étape 4.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$- 2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

Étape 4.2

Le premier nombre dans le dividende $(3)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$- 2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

Étape 4.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(3)$ par le diviseur $(- 2)$ et placez le résultat de $(- 6)$ sous le terme suivant dans le dividende $(3)$ .

$- 2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 6$
	$3$

Étape 4.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 6$
	$3$	$- 3$

Étape 4.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 3)$ par le diviseur $(- 2)$ et placez le résultat de $(6)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 1)$ .

$- 2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 6$	$6$
	$3$	$- 3$

Étape 4.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 6$	$6$
	$3$	$- 3$	$5$

Étape 4.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(5)$ par le diviseur $(- 2)$ et placez le résultat de $(- 10)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 12)$ .

$- 2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 6$	$6$	$- 10$
	$3$	$- 3$	$5$

Étape 4.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 6$	$6$	$- 10$
	$3$	$- 3$	$5$	$- 22$

Étape 4.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 22)$ par le diviseur $(- 2)$ et placez le résultat de $(44)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 12)$ .

$- 2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 6$	$6$	$- 10$	$44$
	$3$	$- 3$	$5$	$- 22$

Étape 4.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 2$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 6$	$6$	$- 10$	$44$
	$3$	$- 3$	$5$	$- 22$	$32$

Étape 4.11

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$3 x^{3} + - 3 x^{2} + (5) x - 22 + \frac{32}{x + 2}$

Étape 4.12

Simplifiez le polynôme quotient.

$3 x^{3} - 3 x^{2} + 5 x - 22 + \frac{32}{x + 2}$

Étape 5

Comme $- 2 < 0$ et les signes de la ligne du bas de la division synthétique changent de signe, $- 2$ est une borne inférieure pour les racines réelles de la fonction.

Borne inférieure : $- 2$

Étape 6

Appliquez la division synthétique sur $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x - 3}$ quand $x = 3$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(3)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(3)$ par le diviseur $(3)$ et placez le résultat de $(9)$ sous le terme suivant dans le dividende $(3)$ .

$3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$9$
	$3$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$9$
	$3$	$12$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(12)$ par le diviseur $(3)$ et placez le résultat de $(36)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 1)$ .

$3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$9$	$36$
	$3$	$12$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$9$	$36$
	$3$	$12$	$35$

Étape 6.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(35)$ par le diviseur $(3)$ et placez le résultat de $(105)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 12)$ .

$3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$9$	$36$	$105$
	$3$	$12$	$35$

Étape 6.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$9$	$36$	$105$
	$3$	$12$	$35$	$93$

Étape 6.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(93)$ par le diviseur $(3)$ et placez le résultat de $(279)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 12)$ .

$3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$9$	$36$	$105$	$279$
	$3$	$12$	$35$	$93$

Étape 6.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$9$	$36$	$105$	$279$
	$3$	$12$	$35$	$93$	$267$

Étape 6.11

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$3 x^{3} + 12 x^{2} + (35) x + 93 + \frac{267}{x - 3}$

Étape 6.12

Simplifiez le polynôme quotient.

$3 x^{3} + 12 x^{2} + 35 x + 93 + \frac{267}{x - 3}$

Étape 7

Comme $3 > 0$ et tous les signes de la ligne du bas de la division synthétique sont positifs, $3$ est une borne supérieure pour les racines réelles de la fonction.

Borne supérieure : $3$

Étape 8

Appliquez la division synthétique sur $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x + 3}$ quand $x = - 3$ .

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Étape 8.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$- 3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

Étape 8.2

Le premier nombre dans le dividende $(3)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$- 3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

Étape 8.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(3)$ par le diviseur $(- 3)$ et placez le résultat de $(- 9)$ sous le terme suivant dans le dividende $(3)$ .

$- 3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 9$
	$3$

Étape 8.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 9$
	$3$	$- 6$

Étape 8.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 6)$ par le diviseur $(- 3)$ et placez le résultat de $(18)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 1)$ .

$- 3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 9$	$18$
	$3$	$- 6$

Étape 8.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 9$	$18$
	$3$	$- 6$	$17$

Étape 8.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(17)$ par le diviseur $(- 3)$ et placez le résultat de $(- 51)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 12)$ .

$- 3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 9$	$18$	$- 51$
	$3$	$- 6$	$17$

Étape 8.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 9$	$18$	$- 51$
	$3$	$- 6$	$17$	$- 63$

Étape 8.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 63)$ par le diviseur $(- 3)$ et placez le résultat de $(189)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 12)$ .

$- 3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 9$	$18$	$- 51$	$189$
	$3$	$- 6$	$17$	$- 63$

Étape 8.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 3$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 9$	$18$	$- 51$	$189$
	$3$	$- 6$	$17$	$- 63$	$177$

Étape 8.11

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$3 x^{3} + - 6 x^{2} + (17) x - 63 + \frac{177}{x + 3}$

Étape 8.12

Simplifiez le polynôme quotient.

$3 x^{3} - 6 x^{2} + 17 x - 63 + \frac{177}{x + 3}$

Étape 9

Comme $- 3 < 0$ et les signes de la ligne du bas de la division synthétique changent de signe, $- 3$ est une borne inférieure pour les racines réelles de la fonction.

Borne inférieure : $- 3$

Étape 10

Appliquez la division synthétique sur $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x - 4}$ quand $x = 4$ .

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Étape 10.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

Étape 10.2

Le premier nombre dans le dividende $(3)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

Étape 10.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(3)$ par le diviseur $(4)$ et placez le résultat de $(12)$ sous le terme suivant dans le dividende $(3)$ .

$4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$12$
	$3$

Étape 10.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$12$
	$3$	$15$

Étape 10.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(15)$ par le diviseur $(4)$ et placez le résultat de $(60)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 1)$ .

$4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$12$	$60$
	$3$	$15$

Étape 10.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$12$	$60$
	$3$	$15$	$59$

Étape 10.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(59)$ par le diviseur $(4)$ et placez le résultat de $(236)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 12)$ .

$4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$12$	$60$	$236$
	$3$	$15$	$59$

Étape 10.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$12$	$60$	$236$
	$3$	$15$	$59$	$224$

Étape 10.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(224)$ par le diviseur $(4)$ et placez le résultat de $(896)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 12)$ .

$4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$12$	$60$	$236$	$896$
	$3$	$15$	$59$	$224$

Étape 10.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$12$	$60$	$236$	$896$
	$3$	$15$	$59$	$224$	$884$

Étape 10.11

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$3 x^{3} + 15 x^{2} + (59) x + 224 + \frac{884}{x - 4}$

Étape 10.12

Simplifiez le polynôme quotient.

$3 x^{3} + 15 x^{2} + 59 x + 224 + \frac{884}{x - 4}$

Étape 11

Comme $4 > 0$ et tous les signes de la ligne du bas de la division synthétique sont positifs, $4$ est une borne supérieure pour les racines réelles de la fonction.

Borne supérieure : $4$

Étape 12

Appliquez la division synthétique sur $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x + 4}$ quand $x = - 4$ .

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Étape 12.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$- 4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

Étape 12.2

Le premier nombre dans le dividende $(3)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$- 4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

Étape 12.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(3)$ par le diviseur $(- 4)$ et placez le résultat de $(- 12)$ sous le terme suivant dans le dividende $(3)$ .

$- 4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 12$
	$3$

Étape 12.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 12$
	$3$	$- 9$

Étape 12.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 9)$ par le diviseur $(- 4)$ et placez le résultat de $(36)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 1)$ .

$- 4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 12$	$36$
	$3$	$- 9$

Étape 12.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 12$	$36$
	$3$	$- 9$	$35$

Étape 12.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(35)$ par le diviseur $(- 4)$ et placez le résultat de $(- 140)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 12)$ .

$- 4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 12$	$36$	$- 140$
	$3$	$- 9$	$35$

Étape 12.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 12$	$36$	$- 140$
	$3$	$- 9$	$35$	$- 152$

Étape 12.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 152)$ par le diviseur $(- 4)$ et placez le résultat de $(608)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 12)$ .

$- 4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 12$	$36$	$- 140$	$608$
	$3$	$- 9$	$35$	$- 152$

Étape 12.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 4$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 12$	$36$	$- 140$	$608$
	$3$	$- 9$	$35$	$- 152$	$596$

Étape 12.11

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$3 x^{3} + - 9 x^{2} + (35) x - 152 + \frac{596}{x + 4}$

Étape 12.12

Simplifiez le polynôme quotient.

$3 x^{3} - 9 x^{2} + 35 x - 152 + \frac{596}{x + 4}$

Étape 13

Comme $- 4 < 0$ et les signes de la ligne du bas de la division synthétique changent de signe, $- 4$ est une borne inférieure pour les racines réelles de la fonction.

Borne inférieure : $- 4$

Étape 14

Appliquez la division synthétique sur $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x + \frac{4}{3}}$ quand $x = - \frac{4}{3}$ .

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Étape 14.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$- \frac{4}{3}$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

Étape 14.2

Le premier nombre dans le dividende $(3)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$- \frac{4}{3}$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

Étape 14.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(3)$ par le diviseur $(- \frac{4}{3})$ et placez le résultat de $(- 4)$ sous le terme suivant dans le dividende $(3)$ .

$- \frac{4}{3}$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 4$
	$3$

Étape 14.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- \frac{4}{3}$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 4$
	$3$	$- 1$

Étape 14.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 1)$ par le diviseur $(- \frac{4}{3})$ et placez le résultat de $(\frac{4}{3})$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 1)$ .

$- \frac{4}{3}$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 4$	$\frac{4}{3}$
	$3$	$- 1$

Étape 14.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- \frac{4}{3}$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 4$	$\frac{4}{3}$
	$3$	$- 1$	$\frac{1}{3}$

Étape 14.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(\frac{1}{3})$ par le diviseur $(- \frac{4}{3})$ et placez le résultat de $(- \frac{4}{9})$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 12)$ .

$- \frac{4}{3}$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 4$	$\frac{4}{3}$	$- \frac{4}{9}$
	$3$	$- 1$	$\frac{1}{3}$

Étape 14.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- \frac{4}{3}$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 4$	$\frac{4}{3}$	$- \frac{4}{9}$
	$3$	$- 1$	$\frac{1}{3}$	$- \frac{112}{9}$

Étape 14.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- \frac{112}{9})$ par le diviseur $(- \frac{4}{3})$ et placez le résultat de $(\frac{448}{27})$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 12)$ .

$- \frac{4}{3}$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 4$	$\frac{4}{3}$	$- \frac{4}{9}$	$\frac{448}{27}$
	$3$	$- 1$	$\frac{1}{3}$	$- \frac{112}{9}$

Étape 14.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- \frac{4}{3}$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 4$	$\frac{4}{3}$	$- \frac{4}{9}$	$\frac{448}{27}$
	$3$	$- 1$	$\frac{1}{3}$	$- \frac{112}{9}$	$\frac{124}{27}$

Étape 14.11

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$3 x^{3} + - 1 x^{2} + (\frac{1}{3}) x - \frac{112}{9} + \frac{\frac{124}{27}}{x + \frac{4}{3}}$

Étape 14.12

Simplifiez le polynôme quotient.

$3 x^{3} - x^{2} + \frac{x}{3} - \frac{112}{9} + \frac{124}{9 (3 x + 4)}$

Étape 15

Comme $- \frac{4}{3} < 0$ et les signes de la ligne du bas de la division synthétique changent de signe, $- \frac{4}{3}$ est une borne inférieure pour les racines réelles de la fonction.

Borne inférieure : $- \frac{4}{3}$

Étape 16

Appliquez la division synthétique sur $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x - 6}$ quand $x = 6$ .

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Étape 16.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

Étape 16.2

Le premier nombre dans le dividende $(3)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

Étape 16.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(3)$ par le diviseur $(6)$ et placez le résultat de $(18)$ sous le terme suivant dans le dividende $(3)$ .

$6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$18$
	$3$

Étape 16.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$18$
	$3$	$21$

Étape 16.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(21)$ par le diviseur $(6)$ et placez le résultat de $(126)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 1)$ .

$6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$18$	$126$
	$3$	$21$

Étape 16.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$18$	$126$
	$3$	$21$	$125$

Étape 16.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(125)$ par le diviseur $(6)$ et placez le résultat de $(750)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 12)$ .

$6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$18$	$126$	$750$
	$3$	$21$	$125$

Étape 16.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$18$	$126$	$750$
	$3$	$21$	$125$	$738$

Étape 16.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(738)$ par le diviseur $(6)$ et placez le résultat de $(4428)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 12)$ .

$6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$18$	$126$	$750$	$4428$
	$3$	$21$	$125$	$738$

Étape 16.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$18$	$126$	$750$	$4428$
	$3$	$21$	$125$	$738$	$4416$

Étape 16.11

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$3 x^{3} + 21 x^{2} + (125) x + 738 + \frac{4416}{x - 6}$

Étape 16.12

Simplifiez le polynôme quotient.

$3 x^{3} + 21 x^{2} + 125 x + 738 + \frac{4416}{x - 6}$

Étape 17

Comme $6 > 0$ et tous les signes de la ligne du bas de la division synthétique sont positifs, $6$ est une borne supérieure pour les racines réelles de la fonction.

Borne supérieure : $6$

Étape 18

Appliquez la division synthétique sur $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x + 6}$ quand $x = - 6$ .

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Étape 18.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$- 6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

Étape 18.2

Le premier nombre dans le dividende $(3)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$- 6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

Étape 18.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(3)$ par le diviseur $(- 6)$ et placez le résultat de $(- 18)$ sous le terme suivant dans le dividende $(3)$ .

$- 6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 18$
	$3$

Étape 18.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 18$
	$3$	$- 15$

Étape 18.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 15)$ par le diviseur $(- 6)$ et placez le résultat de $(90)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 1)$ .

$- 6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 18$	$90$
	$3$	$- 15$

Étape 18.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 18$	$90$
	$3$	$- 15$	$89$

Étape 18.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(89)$ par le diviseur $(- 6)$ et placez le résultat de $(- 534)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 12)$ .

$- 6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 18$	$90$	$- 534$
	$3$	$- 15$	$89$

Étape 18.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 18$	$90$	$- 534$
	$3$	$- 15$	$89$	$- 546$

Étape 18.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 546)$ par le diviseur $(- 6)$ et placez le résultat de $(3276)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 12)$ .

$- 6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 18$	$90$	$- 534$	$3276$
	$3$	$- 15$	$89$	$- 546$

Étape 18.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 6$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 18$	$90$	$- 534$	$3276$
	$3$	$- 15$	$89$	$- 546$	$3264$

Étape 18.11

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$3 x^{3} + - 15 x^{2} + (89) x - 546 + \frac{3264}{x + 6}$

Étape 18.12

Simplifiez le polynôme quotient.

$3 x^{3} - 15 x^{2} + 89 x - 546 + \frac{3264}{x + 6}$

Étape 19

Comme $- 6 < 0$ et les signes de la ligne du bas de la division synthétique changent de signe, $- 6$ est une borne inférieure pour les racines réelles de la fonction.

Borne inférieure : $- 6$

Étape 20

Appliquez la division synthétique sur $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x - 12}$ quand $x = 12$ .

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Étape 20.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

Étape 20.2

Le premier nombre dans le dividende $(3)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

Étape 20.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(3)$ par le diviseur $(12)$ et placez le résultat de $(36)$ sous le terme suivant dans le dividende $(3)$ .

$12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$36$
	$3$

Étape 20.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$36$
	$3$	$39$

Étape 20.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(39)$ par le diviseur $(12)$ et placez le résultat de $(468)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 1)$ .

$12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$36$	$468$
	$3$	$39$

Étape 20.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$36$	$468$
	$3$	$39$	$467$

Étape 20.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(467)$ par le diviseur $(12)$ et placez le résultat de $(5604)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 12)$ .

$12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$36$	$468$	$5604$
	$3$	$39$	$467$

Étape 20.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$36$	$468$	$5604$
	$3$	$39$	$467$	$5592$

Étape 20.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(5592)$ par le diviseur $(12)$ et placez le résultat de $(67104)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 12)$ .

$12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$36$	$468$	$5604$	$67104$
	$3$	$39$	$467$	$5592$

Étape 20.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$36$	$468$	$5604$	$67104$
	$3$	$39$	$467$	$5592$	$67092$

Étape 20.11

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$3 x^{3} + 39 x^{2} + (467) x + 5592 + \frac{67092}{x - 12}$

Étape 20.12

Simplifiez le polynôme quotient.

$3 x^{3} + 39 x^{2} + 467 x + 5592 + \frac{67092}{x - 12}$

Étape 21

Comme $12 > 0$ et tous les signes de la ligne du bas de la division synthétique sont positifs, $12$ est une borne supérieure pour les racines réelles de la fonction.

Borne supérieure : $12$

Étape 22

Appliquez la division synthétique sur $\frac{3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 12 x - 12}{x + 12}$ quand $x = - 12$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 22.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$- 12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

Étape 22.2

Le premier nombre dans le dividende $(3)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$- 12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$

	$3$

Étape 22.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(3)$ par le diviseur $(- 12)$ et placez le résultat de $(- 36)$ sous le terme suivant dans le dividende $(3)$ .

$- 12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 36$
	$3$

Étape 22.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 36$
	$3$	$- 33$

Étape 22.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 33)$ par le diviseur $(- 12)$ et placez le résultat de $(396)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 1)$ .

$- 12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 36$	$396$
	$3$	$- 33$

Étape 22.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 36$	$396$
	$3$	$- 33$	$395$

Étape 22.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(395)$ par le diviseur $(- 12)$ et placez le résultat de $(- 4740)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 12)$ .

$- 12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 36$	$396$	$- 4740$
	$3$	$- 33$	$395$

Étape 22.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 36$	$396$	$- 4740$
	$3$	$- 33$	$395$	$- 4752$

Étape 22.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 4752)$ par le diviseur $(- 12)$ et placez le résultat de $(57024)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 12)$ .

$- 12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 36$	$396$	$- 4740$	$57024$
	$3$	$- 33$	$395$	$- 4752$

Étape 22.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 12$	$3$	$3$	$- 1$	$- 12$	$- 12$
		$- 36$	$396$	$- 4740$	$57024$
	$3$	$- 33$	$395$	$- 4752$	$57012$

Étape 22.11

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$3 x^{3} + - 33 x^{2} + (395) x - 4752 + \frac{57012}{x + 12}$

Étape 22.12

Simplifiez le polynôme quotient.

$3 x^{3} - 33 x^{2} + 395 x - 4752 + \frac{57012}{x + 12}$

Étape 23

Comme $- 12 < 0$ et les signes de la ligne du bas de la division synthétique changent de signe, $- 12$ est une borne inférieure pour les racines réelles de la fonction.

Borne inférieure : $- 12$

Étape 24

Déterminez les limites supérieures et inférieures.

Bornes supérieures : $2, 3, 4, 6, 12$

Bornes inférieures : $- 2, - 3, - 4, - \frac{4}{3}, - 6, - 12$

Étape 25