Algèbre Exemples

${(\sqrt{2} + i \sqrt{2})}^{3}$

Étape 1

Utilisez le théorème du binôme.

${\sqrt{2}}^{3} + 3 {\sqrt{2}}^{2} (i \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Étape 2

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{3}$ comme $\sqrt{2^{3}}$ .

$\sqrt{2^{3}} + 3 {\sqrt{2}}^{2} (i \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Étape 2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\sqrt{8} + 3 {\sqrt{2}}^{2} (i \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Étape 2.1.3

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\sqrt{4 (2)} + 3 {\sqrt{2}}^{2} (i \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Étape 2.1.3.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 2} + 3 {\sqrt{2}}^{2} (i \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Étape 2.1.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$2 \sqrt{2} + 3 {\sqrt{2}}^{2} (i \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Étape 2.1.5

Multipliez ${\sqrt{2}}^{2}$ par $\sqrt{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.5.1

Déplacez $\sqrt{2}$ .

$2 \sqrt{2} + 3 (\sqrt{2} {\sqrt{2}}^{2}) i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Étape 2.1.5.2

Multipliez $\sqrt{2}$ par ${\sqrt{2}}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.5.2.1

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$2 \sqrt{2} + 3 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{2}) i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Étape 2.1.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 \sqrt{2} + 3 {\sqrt{2}}^{1 + 2} i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Étape 2.1.5.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$2 \sqrt{2} + 3 {\sqrt{2}}^{3} i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Étape 2.1.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{3}$ comme $\sqrt{2^{3}}$ .

$2 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2^{3}} i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Étape 2.1.7

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$2 \sqrt{2} + 3 \sqrt{8} i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Étape 2.1.8

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.8.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$2 \sqrt{2} + 3 \sqrt{4 (2)} i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Étape 2.1.8.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$2 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2^{2} \cdot 2} i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Étape 2.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$2 \sqrt{2} + 3 (2 \sqrt{2}) i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Étape 2.1.10

Multipliez $2$ par $3$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 \sqrt{2} {(i \sqrt{2})}^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Étape 2.1.11

Appliquez la règle de produit à $i \sqrt{2}$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 \sqrt{2} (i^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Étape 2.1.12

Multipliez $\sqrt{2}$ par ${\sqrt{2}}^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.12.1

Déplacez ${\sqrt{2}}^{2}$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 ({\sqrt{2}}^{2} \sqrt{2}) i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Étape 2.1.12.2

Multipliez ${\sqrt{2}}^{2}$ par $\sqrt{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.12.2.1

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 ({\sqrt{2}}^{2} {\sqrt{2}}^{1}) i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Étape 2.1.12.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 {\sqrt{2}}^{2 + 1} i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Étape 2.1.12.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 {\sqrt{2}}^{3} i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Étape 2.1.13

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{3}$ comme $\sqrt{2^{3}}$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 \sqrt{2^{3}} i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Étape 2.1.14

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 \sqrt{8} i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Étape 2.1.15

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.15.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 \sqrt{4 (2)} i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Étape 2.1.15.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 \sqrt{2^{2} \cdot 2} i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Étape 2.1.16

Extrayez les termes de sous le radical.

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 3 (2 \sqrt{2}) i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Étape 2.1.17

Multipliez $2$ par $3$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 6 \sqrt{2} i^{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Étape 2.1.18

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i + 6 \sqrt{2} \cdot - 1 + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Étape 2.1.19

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} + {(i \sqrt{2})}^{3}$

Étape 2.1.20

Appliquez la règle de produit à $i \sqrt{2}$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} + i^{3} {\sqrt{2}}^{3}$

Étape 2.1.21

Factorisez $i^{2}$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} + i^{2} \cdot i {\sqrt{2}}^{3}$

Étape 2.1.22

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - 1 \cdot i {\sqrt{2}}^{3}$

Étape 2.1.23

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - i {\sqrt{2}}^{3}$

Étape 2.1.24

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{3}$ comme $\sqrt{2^{3}}$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - i \sqrt{2^{3}}$

Étape 2.1.25

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - i \sqrt{8}$

Étape 2.1.26

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.26.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - i \sqrt{4 (2)}$

Étape 2.1.26.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - i \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Étape 2.1.27

Extrayez les termes de sous le radical.

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - i (2 \sqrt{2})$

Étape 2.1.28

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2} i - 6 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}$

Étape 2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Soustrayez $6 \sqrt{2}$ de $2 \sqrt{2}$ .

$6 \sqrt{2} i - 4 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}$

Étape 2.2.2

Réorganisez les facteurs de $6 \sqrt{2} i$ .

$6 i \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} - 2 i \sqrt{2}$

Étape 2.2.3

Soustrayez $2 i \sqrt{2}$ de $6 i \sqrt{2}$ .

$4 i \sqrt{2} - 4 \sqrt{2}$

Étape 2.2.4

Remettez dans l’ordre $4 i \sqrt{2}$ et $- 4 \sqrt{2}$ .

$- 4 \sqrt{2} + 4 i \sqrt{2}$

Étape 3

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où $| z |$ est le module et $θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 4

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où $z = a + b i$

Étape 5

Remplacez les valeurs réelles de $a = - 4 \sqrt{2}$ et $b = 4 \sqrt{2}$ .

$| z | = \sqrt{{(4 \sqrt{2})}^{2} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Étape 6

Déterminez $| z |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1

Appliquez la règle de produit à $4 \sqrt{2}$ .

$| z | = \sqrt{4^{2} {\sqrt{2}}^{2} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Étape 6.1.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{16 {\sqrt{2}}^{2} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Étape 6.2

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{16 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Étape 6.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{16 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Étape 6.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$| z | = \sqrt{16 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Étape 6.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$| z | = \sqrt{16 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Étape 6.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$| z | = \sqrt{16 \cdot 2 + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Étape 6.2.5

Évaluez l’exposant.

$| z | = \sqrt{16 \cdot 2 + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Étape 6.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1

Multipliez $16$ par $2$ .

$| z | = \sqrt{32 + {(- 4 \sqrt{2})}^{2}}$

Étape 6.3.2

Appliquez la règle de produit à $- 4 \sqrt{2}$ .

$| z | = \sqrt{32 + {(- 4)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 6.3.3

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{32 + 16 {\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 6.4

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{32 + 16 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 6.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{32 + 16 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 6.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$| z | = \sqrt{32 + 16 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$| z | = \sqrt{32 + 16 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$| z | = \sqrt{32 + 16 \cdot 2}$

Étape 6.4.5

Évaluez l’exposant.

$| z | = \sqrt{32 + 16 \cdot 2}$

Étape 6.5

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.1

Multipliez $16$ par $2$ .

$| z | = \sqrt{32 + 32}$

Étape 6.5.2

Additionnez $32$ et $32$ .

$| z | = \sqrt{64}$

Étape 6.5.3

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$| z | = \sqrt{8^{2}}$

Étape 6.5.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$| z | = 8$

Étape 7

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{4 \sqrt{2}}{- 4 \sqrt{2}})$

Étape 8

Comme la tangente inverse de $\frac{4 \sqrt{2}}{- 4 \sqrt{2}}$ produit un angle dans le deuxième quadrant, la valeur de l’angle est $\frac{3 π}{4}$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Étape 9

Remplacez les valeurs de $θ = \frac{3 π}{4}$ et $| z | = 8$ .

$8 (\cos (\frac{3 π}{4}) + i \sin (\frac{3 π}{4}))$