Algèbre Exemples

Développer à l'aide du triangle de Pascal (x-y)^12
(x-y)12(xy)12
Étape 1
Le triangle de Pascal peut être affiché ainsi :
11
1-111
1-2-1121
1-10-45-120-210-252-210-120-45-10-11104512021025221012045101
1-11-55-165-330-462-462-330-165-55-11-11115516533046246233016555111
1-12-66-220-495-792-924-792-495-220-66-12-11126622049579292479249522066121
Le triangle peut être utilisé pour calculer les coefficients du développement de (a+b)n(a+b)n en prenant l’exposant nn et en ajoutant 11. Les coefficients correspondront à la droite n+1n+1 du triangle. Pour (x-y)12(xy)12, n=12n=12 les coefficients du développement correspondront donc à la droite 1313.
Étape 2
Le développement suit la règle (a+b)n=c0anb0+c1an-1b1+cn-1a1bn-1+cna0bn(a+b)n=c0anb0+c1an1b1+cn1a1bn1+cna0bn. Les valeurs des coefficients, à partir du triangle, sont 1-12-66-220-495-792-924-792-495-220-66-12-11126622049579292479249522066121.
1a12b0+12a11b+66a10b2+220a9b3+495a8b4+792a7b5+924a6b6+792a5b7+495a4b8+220a3b9+66a2b10+12ab11+1a0b121a12b0+12a11b+66a10b2+220a9b3+495a8b4+792a7b5+924a6b6+792a5b7+495a4b8+220a3b9+66a2b10+12ab11+1a0b12
Étape 3
Remplacez les valeurs réelles de aa xx et bb -yy dans l’expression.
1(x)12(-y)0+12(x)11(-y)1+66(x)10(-y)2+220(x)9(-y)3+495(x)8(-y)4+792(x)7(-y)5+924(x)6(-y)6+792(x)5(-y)7+495(x)4(-y)8+220(x)3(-y)9+66(x)2(-y)10+12(x)1(-y)11+1(x)0(-y)121(x)12(y)0+12(x)11(y)1+66(x)10(y)2+220(x)9(y)3+495(x)8(y)4+792(x)7(y)5+924(x)6(y)6+792(x)5(y)7+495(x)4(y)8+220(x)3(y)9+66(x)2(y)10+12(x)1(y)11+1(x)0(y)12
Étape 4
Simplifiez chaque terme.
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Étape 4.1
Multipliez (x)12(x)12 par 11.
(x)12(-y)0+12(x)11(-y)1+66(x)10(-y)2+220(x)9(-y)3+495(x)8(-y)4+792(x)7(-y)5+924(x)6(-y)6+792(x)5(-y)7+495(x)4(-y)8+220(x)3(-y)9+66(x)2(-y)10+12(x)1(-y)11+1(x)0(-y)12(x)12(y)0+12(x)11(y)1+66(x)10(y)2+220(x)9(y)3+495(x)8(y)4+792(x)7(y)5+924(x)6(y)6+792(x)5(y)7+495(x)4(y)8+220(x)3(y)9+66(x)2(y)10+12(x)1(y)11+1(x)0(y)12
Étape 4.2
Appliquez la règle de produit à -yy.
x12((-1)0y0)+12(x)11(-y)1+66(x)10(-y)2+220(x)9(-y)3+495(x)8(-y)4+792(x)7(-y)5+924(x)6(-y)6+792(x)5(-y)7+495(x)4(-y)8+220(x)3(-y)9+66(x)2(-y)10+12(x)1(-y)11+1(x)0(-y)12x12((1)0y0)+12(x)11(y)1+66(x)10(y)2+220(x)9(y)3+495(x)8(y)4+792(x)7(y)5+924(x)6(y)6+792(x)5(y)7+495(x)4(y)8+220(x)3(y)9+66(x)2(y)10+12(x)1(y)11+1(x)0(y)12
Étape 4.3
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
(-1)0x12y0+12(x)11(-y)1+66(x)10(-y)2+220(x)9(-y)3+495(x)8(-y)4+792(x)7(-y)5+924(x)6(-y)6+792(x)5(-y)7+495(x)4(-y)8+220(x)3(-y)9+66(x)2(-y)10+12(x)1(-y)11+1(x)0(-y)12(1)0x12y0+12(x)11(y)1+66(x)10(y)2+220(x)9(y)3+495(x)8(y)4+792(x)7(y)5+924(x)6(y)6+792(x)5(y)7+495(x)4(y)8+220(x)3(y)9+66(x)2(y)10+12(x)1(y)11+1(x)0(y)12
Étape 4.4
Tout ce qui est élevé à la puissance 00 est 11.
1x12y0+12(x)11(-y)1+66(x)10(-y)2+220(x)9(-y)3+495(x)8(-y)4+792(x)7(-y)5+924(x)6(-y)6+792(x)5(-y)7+495(x)4(-y)8+220(x)3(-y)9+66(x)2(-y)10+12(x)1(-y)11+1(x)0(-y)121x12y0+12(x)11(y)1+66(x)10(y)2+220(x)9(y)3+495(x)8(y)4+792(x)7(y)5+924(x)6(y)6+792(x)5(y)7+495(x)4(y)8+220(x)3(y)9+66(x)2(y)10+12(x)1(y)11+1(x)0(y)12
Étape 4.5
Multipliez x12 par 1.
x12y0+12(x)11(-y)1+66(x)10(-y)2+220(x)9(-y)3+495(x)8(-y)4+792(x)7(-y)5+924(x)6(-y)6+792(x)5(-y)7+495(x)4(-y)8+220(x)3(-y)9+66(x)2(-y)10+12(x)1(-y)11+1(x)0(-y)12
Étape 4.6
Tout ce qui est élevé à la puissance 0 est 1.
x121+12(x)11(-y)1+66(x)10(-y)2+220(x)9(-y)3+495(x)8(-y)4+792(x)7(-y)5+924(x)6(-y)6+792(x)5(-y)7+495(x)4(-y)8+220(x)3(-y)9+66(x)2(-y)10+12(x)1(-y)11+1(x)0(-y)12
Étape 4.7
Multipliez x12 par 1.
x12+12(x)11(-y)1+66(x)10(-y)2+220(x)9(-y)3+495(x)8(-y)4+792(x)7(-y)5+924(x)6(-y)6+792(x)5(-y)7+495(x)4(-y)8+220(x)3(-y)9+66(x)2(-y)10+12(x)1(-y)11+1(x)0(-y)12
Étape 4.8
Simplifiez
x12+12x11(-y)+66(x)10(-y)2+220(x)9(-y)3+495(x)8(-y)4+792(x)7(-y)5+924(x)6(-y)6+792(x)5(-y)7+495(x)4(-y)8+220(x)3(-y)9+66(x)2(-y)10+12(x)1(-y)11+1(x)0(-y)12
Étape 4.9
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
x12+12-1x11y+66(x)10(-y)2+220(x)9(-y)3+495(x)8(-y)4+792(x)7(-y)5+924(x)6(-y)6+792(x)5(-y)7+495(x)4(-y)8+220(x)3(-y)9+66(x)2(-y)10+12(x)1(-y)11+1(x)0(-y)12
Étape 4.10
Multipliez 12 par -1.
x12-12x11y+66(x)10(-y)2+220(x)9(-y)3+495(x)8(-y)4+792(x)7(-y)5+924(x)6(-y)6+792(x)5(-y)7+495(x)4(-y)8+220(x)3(-y)9+66(x)2(-y)10+12(x)1(-y)11+1(x)0(-y)12
Étape 4.11
Appliquez la règle de produit à -y.
x12-12x11y+66x10((-1)2y2)+220(x)9(-y)3+495(x)8(-y)4+792(x)7(-y)5+924(x)6(-y)6+792(x)5(-y)7+495(x)4(-y)8+220(x)3(-y)9+66(x)2(-y)10+12(x)1(-y)11+1(x)0(-y)12
Étape 4.12
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
x12-12x11y+66(-1)2x10y2+220(x)9(-y)3+495(x)8(-y)4+792(x)7(-y)5+924(x)6(-y)6+792(x)5(-y)7+495(x)4(-y)8+220(x)3(-y)9+66(x)2(-y)10+12(x)1(-y)11+1(x)0(-y)12
Étape 4.13
Élevez -1 à la puissance 2.
x12-12x11y+661x10y2+220(x)9(-y)3+495(x)8(-y)4+792(x)7(-y)5+924(x)6(-y)6+792(x)5(-y)7+495(x)4(-y)8+220(x)3(-y)9+66(x)2(-y)10+12(x)1(-y)11+1(x)0(-y)12
Étape 4.14
Multipliez 66 par 1.
x12-12x11y+66x10y2+220(x)9(-y)3+495(x)8(-y)4+792(x)7(-y)5+924(x)6(-y)6+792(x)5(-y)7+495(x)4(-y)8+220(x)3(-y)9+66(x)2(-y)10+12(x)1(-y)11+1(x)0(-y)12
Étape 4.15
Appliquez la règle de produit à -y.
x12-12x11y+66x10y2+220x9((-1)3y3)+495(x)8(-y)4+792(x)7(-y)5+924(x)6(-y)6+792(x)5(-y)7+495(x)4(-y)8+220(x)3(-y)9+66(x)2(-y)10+12(x)1(-y)11+1(x)0(-y)12
Étape 4.16
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
x12-12x11y+66x10y2+220(-1)3x9y3+495(x)8(-y)4+792(x)7(-y)5+924(x)6(-y)6+792(x)5(-y)7+495(x)4(-y)8+220(x)3(-y)9+66(x)2(-y)10+12(x)1(-y)11+1(x)0(-y)12
Étape 4.17
Élevez -1 à la puissance 3.
x12-12x11y+66x10y2+220-1x9y3+495(x)8(-y)4+792(x)7(-y)5+924(x)6(-y)6+792(x)5(-y)7+495(x)4(-y)8+220(x)3(-y)9+66(x)2(-y)10+12(x)1(-y)11+1(x)0(-y)12
Étape 4.18
Multipliez 220 par -1.
x12-12x11y+66x10y2-220x9y3+495(x)8(-y)4+792(x)7(-y)5+924(x)6(-y)6+792(x)5(-y)7+495(x)4(-y)8+220(x)3(-y)9+66(x)2(-y)10+12(x)1(-y)11+1(x)0(-y)12
Étape 4.19
Appliquez la règle de produit à -y.
x12-12x11y+66x10y2-220x9y3+495x8((-1)4y4)+792(x)7(-y)5+924(x)6(-y)6+792(x)5(-y)7+495(x)4(-y)8+220(x)3(-y)9+66(x)2(-y)10+12(x)1(-y)11+1(x)0(-y)12
Étape 4.20
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
x12-12x11y+66x10y2-220x9y3+495(-1)4x8y4+792(x)7(-y)5+924(x)6(-y)6+792(x)5(-y)7+495(x)4(-y)8+220(x)3(-y)9+66(x)2(-y)10+12(x)1(-y)11+1(x)0(-y)12
Étape 4.21
Élevez -1 à la puissance 4.
x12-12x11y+66x10y2-220x9y3+4951x8y4+792(x)7(-y)5+924(x)6(-y)6+792(x)5(-y)7+495(x)4(-y)8+220(x)3(-y)9+66(x)2(-y)10+12(x)1(-y)11+1(x)0(-y)12
Étape 4.22
Multipliez 495 par 1.
x12-12x11y+66x10y2-220x9y3+495x8y4+792(x)7(-y)5+924(x)6(-y)6+792(x)5(-y)7+495(x)4(-y)8+220(x)3(-y)9+66(x)2(-y)10+12(x)1(-y)11+1(x)0(-y)12
Étape 4.23
Appliquez la règle de produit à -y.
x12-12x11y+66x10y2-220x9y3+495x8y4+792x7((-1)5y5)+924(x)6(-y)6+792(x)5(-y)7+495(x)4(-y)8+220(x)3(-y)9+66(x)2(-y)10+12(x)1(-y)11+1(x)0(-y)12
Étape 4.24
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
x12-12x11y+66x10y2-220x9y3+495x8y4+792(-1)5x7y5+924(x)6(-y)6+792(x)5(-y)7+495(x)4(-y)8+220(x)3(-y)9+66(x)2(-y)10+12(x)1(-y)11+1(x)0(-y)12
Étape 4.25
Élevez -1 à la puissance 5.
x12-12x11y+66x10y2-220x9y3+495x8y4+792-1x7y5+924(x)6(-y)6+792(x)5(-y)7+495(x)4(-y)8+220(x)3(-y)9+66(x)2(-y)10+12(x)1(-y)11+1(x)0(-y)12
Étape 4.26
Multipliez 792 par -1.
x12-12x11y+66x10y2-220x9y3+495x8y4-792x7y5+924(x)6(-y)6+792(x)5(-y)7+495(x)4(-y)8+220(x)3(-y)9+66(x)2(-y)10+12(x)1(-y)11+1(x)0(-y)12
Étape 4.27
Appliquez la règle de produit à -y.
x12-12x11y+66x10y2-220x9y3+495x8y4-792x7y5+924x6((-1)6y6)+792(x)5(-y)7+495(x)4(-y)8+220(x)3(-y)9+66(x)2(-y)10+12(x)1(-y)11+1(x)0(-y)12
Étape 4.28
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
x12-12x11y+66x10y2-220x9y3+495x8y4-792x7y5+924(-1)6x6y6+792(x)5(-y)7+495(x)4(-y)8+220(x)3(-y)9+66(x)2(-y)10+12(x)1(-y)11+1(x)0(-y)12
Étape 4.29
Élevez -1 à la puissance 6.
x12-12x11y+66x10y2-220x9y3+495x8y4-792x7y5+9241x6y6+792(x)5(-y)7+495(x)4(-y)8+220(x)3(-y)9+66(x)2(-y)10+12(x)1(-y)11+1(x)0(-y)12
Étape 4.30
Multipliez 924 par 1.
x12-12x11y+66x10y2-220x9y3+495x8y4-792x7y5+924x6y6+792(x)5(-y)7+495(x)4(-y)8+220(x)3(-y)9+66(x)2(-y)10+12(x)1(-y)11+1(x)0(-y)12
Étape 4.31
Appliquez la règle de produit à -y.
x12-12x11y+66x10y2-220x9y3+495x8y4-792x7y5+924x6y6+792x5((-1)7y7)+495(x)4(-y)8+220(x)3(-y)9+66(x)2(-y)10+12(x)1(-y)11+1(x)0(-y)12
Étape 4.32
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
x12-12x11y+66x10y2-220x9y3+495x8y4-792x7y5+924x6y6+792(-1)7x5y7+495(x)4(-y)8+220(x)3(-y)9+66(x)2(-y)10+12(x)1(-y)11+1(x)0(-y)12
Étape 4.33
Élevez -1 à la puissance 7.
x12-12x11y+66x10y2-220x9y3+495x8y4-792x7y5+924x6y6+792-1x5y7+495(x)4(-y)8+220(x)3(-y)9+66(x)2(-y)10+12(x)1(-y)11+1(x)0(-y)12
Étape 4.34
Multipliez 792 par -1.
x12-12x11y+66x10y2-220x9y3+495x8y4-792x7y5+924x6y6-792x5y7+495(x)4(-y)8+220(x)3(-y)9+66(x)2(-y)10+12(x)1(-y)11+1(x)0(-y)12
Étape 4.35
Appliquez la règle de produit à -y.
x12-12x11y+66x10y2-220x9y3+495x8y4-792x7y5+924x6y6-792x5y7+495x4((-1)8y8)+220(x)3(-y)9+66(x)2(-y)10+12(x)1(-y)11+1(x)0(-y)12
Étape 4.36
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
x12-12x11y+66x10y2-220x9y3+495x8y4-792x7y5+924x6y6-792x5y7+495(-1)8x4y8+220(x)3(-y)9+66(x)2(-y)10+12(x)1(-y)11+1(x)0(-y)12
Étape 4.37
Élevez -1 à la puissance 8.
x12-12x11y+66x10y2-220x9y3+495x8y4-792x7y5+924x6y6-792x5y7+4951x4y8+220(x)3(-y)9+66(x)2(-y)10+12(x)1(-y)11+1(x)0(-y)12
Étape 4.38
Multipliez 495 par 1.
x12-12x11y+66x10y2-220x9y3+495x8y4-792x7y5+924x6y6-792x5y7+495x4y8+220(x)3(-y)9+66(x)2(-y)10+12(x)1(-y)11+1(x)0(-y)12
Étape 4.39
Appliquez la règle de produit à -y.
x12-12x11y+66x10y2-220x9y3+495x8y4-792x7y5+924x6y6-792x5y7+495x4y8+220x3((-1)9y9)+66(x)2(-y)10+12(x)1(-y)11+1(x)0(-y)12
Étape 4.40
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
x12-12x11y+66x10y2-220x9y3+495x8y4-792x7y5+924x6y6-792x5y7+495x4y8+220(-1)9x3y9+66(x)2(-y)10+12(x)1(-y)11+1(x)0(-y)12
Étape 4.41
Élevez -1 à la puissance 9.
x12-12x11y+66x10y2-220x9y3+495x8y4-792x7y5+924x6y6-792x5y7+495x4y8+220-1x3y9+66(x)2(-y)10+12(x)1(-y)11+1(x)0(-y)12
Étape 4.42
Multipliez 220 par -1.
x12-12x11y+66x10y2-220x9y3+495x8y4-792x7y5+924x6y6-792x5y7+495x4y8-220x3y9+66(x)2(-y)10+12(x)1(-y)11+1(x)0(-y)12
Étape 4.43
Appliquez la règle de produit à -y.
x12-12x11y+66x10y2-220x9y3+495x8y4-792x7y5+924x6y6-792x5y7+495x4y8-220x3y9+66x2((-1)10y10)+12(x)1(-y)11+1(x)0(-y)12
Étape 4.44
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
x12-12x11y+66x10y2-220x9y3+495x8y4-792x7y5+924x6y6-792x5y7+495x4y8-220x3y9+66(-1)10x2y10+12(x)1(-y)11+1(x)0(-y)12
Étape 4.45
Élevez -1 à la puissance 10.
x12-12x11y+66x10y2-220x9y3+495x8y4-792x7y5+924x6y6-792x5y7+495x4y8-220x3y9+661x2y10+12(x)1(-y)11+1(x)0(-y)12
Étape 4.46
Multipliez 66 par 1.
x12-12x11y+66x10y2-220x9y3+495x8y4-792x7y5+924x6y6-792x5y7+495x4y8-220x3y9+66x2y10+12(x)1(-y)11+1(x)0(-y)12
Étape 4.47
Simplifiez
x12-12x11y+66x10y2-220x9y3+495x8y4-792x7y5+924x6y6-792x5y7+495x4y8-220x3y9+66x2y10+12x(-y)11+1(x)0(-y)12
Étape 4.48
Appliquez la règle de produit à -y.
x12-12x11y+66x10y2-220x9y3+495x8y4-792x7y5+924x6y6-792x5y7+495x4y8-220x3y9+66x2y10+12x((-1)11y11)+1(x)0(-y)12
Étape 4.49
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
x12-12x11y+66x10y2-220x9y3+495x8y4-792x7y5+924x6y6-792x5y7+495x4y8-220x3y9+66x2y10+12(-1)11xy11+1(x)0(-y)12
Étape 4.50
Élevez -1 à la puissance 11.
x12-12x11y+66x10y2-220x9y3+495x8y4-792x7y5+924x6y6-792x5y7+495x4y8-220x3y9+66x2y10+12-1xy11+1(x)0(-y)12
Étape 4.51
Multipliez 12 par -1.
x12-12x11y+66x10y2-220x9y3+495x8y4-792x7y5+924x6y6-792x5y7+495x4y8-220x3y9+66x2y10-12xy11+1(x)0(-y)12
Étape 4.52
Multipliez (x)0 par 1.
x12-12x11y+66x10y2-220x9y3+495x8y4-792x7y5+924x6y6-792x5y7+495x4y8-220x3y9+66x2y10-12xy11+(x)0(-y)12
Étape 4.53
Tout ce qui est élevé à la puissance 0 est 1.
x12-12x11y+66x10y2-220x9y3+495x8y4-792x7y5+924x6y6-792x5y7+495x4y8-220x3y9+66x2y10-12xy11+1(-y)12
Étape 4.54
Multipliez (-y)12 par 1.
x12-12x11y+66x10y2-220x9y3+495x8y4-792x7y5+924x6y6-792x5y7+495x4y8-220x3y9+66x2y10-12xy11+(-y)12
Étape 4.55
Appliquez la règle de produit à -y.
x12-12x11y+66x10y2-220x9y3+495x8y4-792x7y5+924x6y6-792x5y7+495x4y8-220x3y9+66x2y10-12xy11+(-1)12y12
Étape 4.56
Élevez -1 à la puissance 12.
x12-12x11y+66x10y2-220x9y3+495x8y4-792x7y5+924x6y6-792x5y7+495x4y8-220x3y9+66x2y10-12xy11+1y12
Étape 4.57
Multipliez y12 par 1.
x12-12x11y+66x10y2-220x9y3+495x8y4-792x7y5+924x6y6-792x5y7+495x4y8-220x3y9+66x2y10-12xy11+y12
x12-12x11y+66x10y2-220x9y3+495x8y4-792x7y5+924x6y6-792x5y7+495x4y8-220x3y9+66x2y10-12xy11+y12
(
(
)
)
|
|
[
[
]
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7
7
8
8
9
9
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4
5
5
6
6
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2
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 [x2  12  π  xdx ]