Algèbre Exemples

$z = 9 + 3 i$

Étape 1

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où $| z |$ est le module et $θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 2

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où $z = a + b i$

Étape 3

Remplacez les valeurs réelles de $a = 9$ et $b = 3$ .

$| z | = \sqrt{3^{2} + 9^{2}}$

Étape 4

Déterminez $| z |$ .

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Étape 4.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{9 + 9^{2}}$

Étape 4.2

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{9 + 81}$

Étape 4.3

Additionnez $9$ et $81$ .

$| z | = \sqrt{90}$

Étape 4.4

Réécrivez $90$ comme $3^{2} \cdot 10$ .

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Étape 4.4.1

Factorisez $9$ à partir de $90$ .

$| z | = \sqrt{9 (10)}$

Étape 4.4.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$| z | = \sqrt{3^{2} \cdot 10}$

Étape 4.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$| z | = 3 \sqrt{10}$

Étape 5

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{3}{9})$

Étape 6

Comme la tangente inverse de $\frac{3}{9}$ produit un angle dans le premier quadrant, la valeur de l’angle est $0.32175055$ .

$θ = 0.32175055$

Étape 7

Remplacez les valeurs de $θ = 0.32175055$ et $| z | = 3 \sqrt{10}$ .

$3 \sqrt{10} (\cos (0.32175055) + i \sin (0.32175055))$

Étape 8

Remplacez le côté droit de l’équation par la forme trigonométrique.

$z = 3 \sqrt{10} (\cos (0.32175055) + i \sin (0.32175055))$