Algèbre Exemples

$4$ , $6$ , $8$ , $12$ , $15$ , $17$ , $10$ , $24$

Étape 1

Déterminez la moyenne.

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Étape 1.1

La moyenne d’un ensemble de nombres est la somme divisée par le nombre de termes.

$\overline{x} = \frac{4 + 6 + 8 + 12 + 15 + 17 + 10 + 24}{8}$

Étape 1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.1

Additionnez $4$ et $6$ .

$\overline{x} = \frac{10 + 8 + 12 + 15 + 17 + 10 + 24}{8}$

Étape 1.2.2

Additionnez $10$ et $8$ .

$\overline{x} = \frac{18 + 12 + 15 + 17 + 10 + 24}{8}$

Étape 1.2.3

Additionnez $18$ et $12$ .

$\overline{x} = \frac{30 + 15 + 17 + 10 + 24}{8}$

Étape 1.2.4

Additionnez $30$ et $15$ .

$\overline{x} = \frac{45 + 17 + 10 + 24}{8}$

Étape 1.2.5

Additionnez $45$ et $17$ .

$\overline{x} = \frac{62 + 10 + 24}{8}$

Étape 1.2.6

Additionnez $62$ et $10$ .

$\overline{x} = \frac{72 + 24}{8}$

Étape 1.2.7

Additionnez $72$ et $24$ .

$\overline{x} = \frac{96}{8}$

Étape 1.3

Divisez $96$ par $8$ .

$\overline{x} = 12$

Étape 2

Simplifiez chaque valeur de la liste.

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Étape 2.1

Convertissez $4$ en une valeur décimale.

$4$

Étape 2.2

Convertissez $6$ en une valeur décimale.

$6$

Étape 2.3

Convertissez $8$ en une valeur décimale.

$8$

Étape 2.4

Convertissez $12$ en une valeur décimale.

$12$

Étape 2.5

Convertissez $15$ en une valeur décimale.

$15$

Étape 2.6

Convertissez $17$ en une valeur décimale.

$17$

Étape 2.7

Convertissez $10$ en une valeur décimale.

$10$

Étape 2.8

Convertissez $24$ en une valeur décimale.

$24$

Étape 2.9

Les valeurs simplifiées sont $4, 6, 8, 12, 15, 17, 10, 24$ .

$4, 6, 8, 12, 15, 17, 10, 24$

Étape 3

Définissez la formule pour l’écart-type de l’échantillon. L’écart-type d’un ensemble de valeurs est une mesure de la dispersion de ses valeurs.

$s = \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{\frac{{(x_{i} - x_{a v g})}^{2}}{n - 1}}$

Étape 4

Définissez la formule de l’écart-type pour cet ensemble de nombres.

$s = \sqrt{\frac{{(4 - 12)}^{2} + {(6 - 12)}^{2} + {(8 - 12)}^{2} + {(12 - 12)}^{2} + {(15 - 12)}^{2} + {(17 - 12)}^{2} + {(10 - 12)}^{2} + {(24 - 12)}^{2}}{8 - 1}}$

Étape 5

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.1

Soustrayez $12$ de $4$ .

$s = \sqrt{\frac{{(- 8)}^{2} + {(6 - 12)}^{2} + {(8 - 12)}^{2} + {(12 - 12)}^{2} + {(15 - 12)}^{2} + {(17 - 12)}^{2} + {(10 - 12)}^{2} + {(24 - 12)}^{2}}{8 - 1}}$

Étape 5.2

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + {(6 - 12)}^{2} + {(8 - 12)}^{2} + {(12 - 12)}^{2} + {(15 - 12)}^{2} + {(17 - 12)}^{2} + {(10 - 12)}^{2} + {(24 - 12)}^{2}}{8 - 1}}$

Étape 5.3

Soustrayez $12$ de $6$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + {(- 6)}^{2} + {(8 - 12)}^{2} + {(12 - 12)}^{2} + {(15 - 12)}^{2} + {(17 - 12)}^{2} + {(10 - 12)}^{2} + {(24 - 12)}^{2}}{8 - 1}}$

Étape 5.4

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + 36 + {(8 - 12)}^{2} + {(12 - 12)}^{2} + {(15 - 12)}^{2} + {(17 - 12)}^{2} + {(10 - 12)}^{2} + {(24 - 12)}^{2}}{8 - 1}}$

Étape 5.5

Soustrayez $12$ de $8$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + 36 + {(- 4)}^{2} + {(12 - 12)}^{2} + {(15 - 12)}^{2} + {(17 - 12)}^{2} + {(10 - 12)}^{2} + {(24 - 12)}^{2}}{8 - 1}}$

Étape 5.6

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + 36 + 16 + {(12 - 12)}^{2} + {(15 - 12)}^{2} + {(17 - 12)}^{2} + {(10 - 12)}^{2} + {(24 - 12)}^{2}}{8 - 1}}$

Étape 5.7

Soustrayez $12$ de $12$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + 36 + 16 + 0^{2} + {(15 - 12)}^{2} + {(17 - 12)}^{2} + {(10 - 12)}^{2} + {(24 - 12)}^{2}}{8 - 1}}$

Étape 5.8

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + 36 + 16 + 0 + {(15 - 12)}^{2} + {(17 - 12)}^{2} + {(10 - 12)}^{2} + {(24 - 12)}^{2}}{8 - 1}}$

Étape 5.9

Soustrayez $12$ de $15$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + 36 + 16 + 0 + 3^{2} + {(17 - 12)}^{2} + {(10 - 12)}^{2} + {(24 - 12)}^{2}}{8 - 1}}$

Étape 5.10

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + 36 + 16 + 0 + 9 + {(17 - 12)}^{2} + {(10 - 12)}^{2} + {(24 - 12)}^{2}}{8 - 1}}$

Étape 5.11

Soustrayez $12$ de $17$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + 36 + 16 + 0 + 9 + 5^{2} + {(10 - 12)}^{2} + {(24 - 12)}^{2}}{8 - 1}}$

Étape 5.12

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + 36 + 16 + 0 + 9 + 25 + {(10 - 12)}^{2} + {(24 - 12)}^{2}}{8 - 1}}$

Étape 5.13

Soustrayez $12$ de $10$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + 36 + 16 + 0 + 9 + 25 + {(- 2)}^{2} + {(24 - 12)}^{2}}{8 - 1}}$

Étape 5.14

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + 36 + 16 + 0 + 9 + 25 + 4 + {(24 - 12)}^{2}}{8 - 1}}$

Étape 5.15

Soustrayez $12$ de $24$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + 36 + 16 + 0 + 9 + 25 + 4 + 12^{2}}{8 - 1}}$

Étape 5.16

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$s = \sqrt{\frac{64 + 36 + 16 + 0 + 9 + 25 + 4 + 144}{8 - 1}}$

Étape 5.17

Additionnez $64$ et $36$ .

$s = \sqrt{\frac{100 + 16 + 0 + 9 + 25 + 4 + 144}{8 - 1}}$

Étape 5.18

Additionnez $100$ et $16$ .

$s = \sqrt{\frac{116 + 0 + 9 + 25 + 4 + 144}{8 - 1}}$

Étape 5.19

Additionnez $116$ et $0$ .

$s = \sqrt{\frac{116 + 9 + 25 + 4 + 144}{8 - 1}}$

Étape 5.20

Additionnez $116$ et $9$ .

$s = \sqrt{\frac{125 + 25 + 4 + 144}{8 - 1}}$

Étape 5.21

Additionnez $125$ et $25$ .

$s = \sqrt{\frac{150 + 4 + 144}{8 - 1}}$

Étape 5.22

Additionnez $150$ et $4$ .

$s = \sqrt{\frac{154 + 144}{8 - 1}}$

Étape 5.23

Additionnez $154$ et $144$ .

$s = \sqrt{\frac{298}{8 - 1}}$

Étape 5.24

Soustrayez $1$ de $8$ .

$s = \sqrt{\frac{298}{7}}$

Étape 5.25

Réécrivez $\sqrt{\frac{298}{7}}$ comme $\frac{\sqrt{298}}{\sqrt{7}}$ .

$s = \frac{\sqrt{298}}{\sqrt{7}}$

Étape 5.26

Multipliez $\frac{\sqrt{298}}{\sqrt{7}}$ par $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$s = \frac{\sqrt{298}}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$

Étape 5.27

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.27.1

Multipliez $\frac{\sqrt{298}}{\sqrt{7}}$ par $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$s = \frac{\sqrt{298} \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Étape 5.27.2

Élevez $\sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$s = \frac{\sqrt{298} \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Étape 5.27.3

Élevez $\sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$s = \frac{\sqrt{298} \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Étape 5.27.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$s = \frac{\sqrt{298} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

Étape 5.27.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$s = \frac{\sqrt{298} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

Étape 5.27.6

Réécrivez ${\sqrt{7}}^{2}$ comme $7$ .

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Étape 5.27.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7}$ comme $7^{\frac{1}{2}}$ .

$s = \frac{\sqrt{298} \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.27.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s = \frac{\sqrt{298} \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.27.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$s = \frac{\sqrt{298} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.27.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.27.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$s = \frac{\sqrt{298} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.27.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$s = \frac{\sqrt{298} \sqrt{7}}{7}$

Étape 5.27.6.5

Évaluez l’exposant.

$s = \frac{\sqrt{298} \sqrt{7}}{7}$

Étape 5.28

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.28.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$s = \frac{\sqrt{298 \cdot 7}}{7}$

Étape 5.28.2

Multipliez $298$ par $7$ .

$s = \frac{\sqrt{2086}}{7}$

Étape 6

L’écart-type devrait être arrondi à une décimale de plus que les données d’origine. Si les données d’origine étaient mélangées, arrondissez à une décimale de plus que la moins précise.

$6.5$