Algèbre Exemples

$x + 2 y + z = 4$ , $4 y - 3 z = 1$ , $2 y + 10 z = 12$

Étape 1

Choisissez deux équations et éliminez une variable. Dans ce cas, éliminez $z$ .

$x + 2 y + z = 4$

$4 y - 3 z = 1$

Étape 2

Éliminez $z$ du système.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Multipliez chaque équation par la valeur qui rend les coefficients de $z$ opposés.

$(3) \cdot (x + 2 y + z) = (3) (4)$

$4 y - 3 z = 1$

Étape 2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1

Simplifiez $(3) \cdot (x + 2 y + z)$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 x + 3 (2 y) + 3 z = (3) (4)$

$4 y - 3 z = 1$

Étape 2.2.1.1.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$3 x + 6 y + 3 z = (3) (4)$

$4 y - 3 z = 1$

$3 x + 6 y + 3 z = (3) (4)$

$4 y - 3 z = 1$

$3 x + 6 y + 3 z = (3) (4)$

$4 y - 3 z = 1$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Multipliez $3$ par $4$ .

$3 x + 6 y + 3 z = 12$

$4 y - 3 z = 1$

$3 x + 6 y + 3 z = 12$

$4 y - 3 z = 1$

$3 x + 6 y + 3 z = 12$

$4 y - 3 z = 1$

Étape 2.3

Additionnez les deux équations entre elles pour éliminer $z$ du système.

	$3$	$x$	$+$	$6$	$y$		$+$	$3$	$z$	$=$	$1$	$2$
$+$					$4$	$y$	$-$	$3$	$z$	$=$		$1$
	$3$	$x$	$+$	$1$	$0$	$y$				$=$	$1$	$3$

Étape 2.4

$z$ est éliminé de l’équation résultante.

$3 x + 10 y = 13$

Étape 3

Choisissez deux autres équations et éliminez $z$ .

$4 y - 3 z = 1$

$2 y + 10 z = 12$

Étape 4

Éliminez $z$ du système.

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Étape 4.1

Multipliez chaque équation par la valeur qui rend les coefficients de $z$ opposés.

$(10) \cdot (4 y - 3 z) = (10) (1)$

$(3) \cdot (2 y + 10 z) = (3) (12)$

Étape 4.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1

Simplifiez $(10) \cdot (4 y - 3 z)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$10 (4 y) + 10 (- 3 z) = (10) (1)$

$(3) \cdot (2 y + 10 z) = (3) (12)$

Étape 4.2.1.1.2

Multipliez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1.2.1

Multipliez $4$ par $10$ .

$40 y + 10 (- 3 z) = (10) (1)$

$(3) \cdot (2 y + 10 z) = (3) (12)$

Étape 4.2.1.1.2.2

Multipliez $- 3$ par $10$ .

$40 y - 30 z = (10) (1)$

$(3) \cdot (2 y + 10 z) = (3) (12)$

$40 y - 30 z = (10) (1)$

$(3) \cdot (2 y + 10 z) = (3) (12)$

$40 y - 30 z = (10) (1)$

$(3) \cdot (2 y + 10 z) = (3) (12)$

$40 y - 30 z = (10) (1)$

$(3) \cdot (2 y + 10 z) = (3) (12)$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Multipliez $10$ par $1$ .

$40 y - 30 z = 10$

$(3) \cdot (2 y + 10 z) = (3) (12)$

$40 y - 30 z = 10$

$(3) \cdot (2 y + 10 z) = (3) (12)$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.1

Simplifiez $(3) \cdot (2 y + 10 z)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$40 y - 30 z = 10$

$3 (2 y) + 3 (10 z) = (3) (12)$

Étape 4.2.3.1.2

Multipliez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.1.2.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$40 y - 30 z = 10$

$6 y + 3 (10 z) = (3) (12)$

Étape 4.2.3.1.2.2

Multipliez $10$ par $3$ .

$40 y - 30 z = 10$

$6 y + 30 z = (3) (12)$

$40 y - 30 z = 10$

$6 y + 30 z = (3) (12)$

$40 y - 30 z = 10$

$6 y + 30 z = (3) (12)$

$40 y - 30 z = 10$

$6 y + 30 z = (3) (12)$

Étape 4.2.4

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.4.1

Multipliez $3$ par $12$ .

$40 y - 30 z = 10$

$6 y + 30 z = 36$

$40 y - 30 z = 10$

$6 y + 30 z = 36$

$40 y - 30 z = 10$

$6 y + 30 z = 36$

Étape 4.3

Additionnez les deux équations entre elles pour éliminer $z$ du système.

	$4$	$0$	$y$	$-$	$3$	$0$	$z$	$=$	$1$	$0$
$+$		$6$	$y$	$+$	$3$	$0$	$z$	$=$	$3$	$6$
	$4$	$6$	$y$					$=$	$4$	$6$

Étape 4.4

$z$ est éliminé de l’équation résultante.

$46 y = 46$

Étape 5

Prenez les équations résultantes et éliminez une autre variable. Dans ce cas, éliminez $y$ .

$3 x + 10 y = 13$

$46 y = 46$

Étape 6

Éliminez $y$ du système.

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Étape 6.1

Multipliez chaque équation par la valeur qui rend les coefficients de $y$ opposés.

$(- 23) \cdot (3 x + 10 y) = (- 23) (13)$

$(5) \cdot (46 y) = (5) (46)$

Étape 6.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Simplifiez $(- 23) \cdot (3 x + 10 y)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 23 (3 x) - 23 (10 y) = (- 23) (13)$

$(5) \cdot (46 y) = (5) (46)$

Étape 6.2.1.1.2

Multipliez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1.2.1

Multipliez $3$ par $- 23$ .

$- 69 x - 23 (10 y) = (- 23) (13)$

$(5) \cdot (46 y) = (5) (46)$

Étape 6.2.1.1.2.2

Multipliez $10$ par $- 23$ .

$- 69 x - 230 y = (- 23) (13)$

$(5) \cdot (46 y) = (5) (46)$

$- 69 x - 230 y = (- 23) (13)$

$(5) \cdot (46 y) = (5) (46)$

$- 69 x - 230 y = (- 23) (13)$

$(5) \cdot (46 y) = (5) (46)$

$- 69 x - 230 y = (- 23) (13)$

$(5) \cdot (46 y) = (5) (46)$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

Multipliez $- 23$ par $13$ .

$- 69 x - 230 y = - 299$

$(5) \cdot (46 y) = (5) (46)$

$- 69 x - 230 y = - 299$

$(5) \cdot (46 y) = (5) (46)$

Étape 6.2.3

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.1

Multipliez $46$ par $5$ .

$- 69 x - 230 y = - 299$

$230 y = (5) (46)$

$- 69 x - 230 y = - 299$

$230 y = (5) (46)$

Étape 6.2.4

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.4.1

Multipliez $5$ par $46$ .

$- 69 x - 230 y = - 299$

$230 y = 230$

$- 69 x - 230 y = - 299$

$230 y = 230$

$- 69 x - 230 y = - 299$

$230 y = 230$

Étape 6.3

Additionnez les deux équations entre elles pour éliminer $y$ du système.

	$-$	$6$	$9$	$x$	$-$	$2$	$3$	$0$	$y$	$=$	$-$	$2$	$9$	$9$
$+$						$2$	$3$	$0$	$y$	$=$		$2$	$3$	$0$
	$-$	$6$	$9$	$x$						$=$		$-$	$6$	$9$

Étape 6.4

$y$ est éliminé de l’équation résultante.

$- 69 x = - 69$

Étape 6.5

Divisez chaque terme dans $- 69 x = - 69$ par $- 69$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.1

Divisez chaque terme dans $- 69 x = - 69$ par $- 69$ .

$\frac{- 69 x}{- 69} = \frac{- 69}{- 69}$

Étape 6.5.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.1

Annulez le facteur commun de $- 69$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 69 x}{- 69} = \frac{- 69}{- 69}$

Étape 6.5.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 69}{- 69}$

Étape 6.5.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.3.1

Divisez $- 69$ par $- 69$ .

$x = 1$

Étape 7

Remplacez la valeur de $x$ dans une équation avec $z$ déjà éliminé et résolvez pour la variable restante.

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Étape 7.1

Remplacez la valeur de $x$ dans une équation avec $z$ déjà éliminé.

$3 (1) + 10 y = 13$

Étape 7.2

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 + 10 y = 13$

Étape 7.2.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$10 y = 13 - 3$

Étape 7.2.2.2

Soustrayez $3$ de $13$ .

$10 y = 10$

Étape 7.2.3

Divisez chaque terme dans $10 y = 10$ par $10$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.1

Divisez chaque terme dans $10 y = 10$ par $10$ .

$\frac{10 y}{10} = \frac{10}{10}$

Étape 7.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $10$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{10 y}{10} = \frac{10}{10}$

Étape 7.2.3.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{10}{10}$

Étape 7.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.3.1

Divisez $10$ par $10$ .

$y = 1$

Étape 8

Remplacez la valeur de chaque variable connue dans l’une des équations initiales et résolvez pour la dernière variable.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Remplacez la valeur de chaque variable connue dans l’une des équations initiales.

$(1) + 2 (1) + z = 4$

Étape 8.2

Résolvez $z$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Simplifiez $(1) + 2 (1) + z$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$1 + 2 + z = 4$

Étape 8.2.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$3 + z = 4$

Étape 8.2.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $z$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$z = 4 - 3$

Étape 8.2.2.2

Soustrayez $3$ de $4$ .

$z = 1$

Étape 9

La solution du système d’équations peut être représentée sous la forme d’un point.

$(1, 1, 1)$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme du point :

$(1, 1, 1)$

Forme de l’équation :

$x = 1, y = 1, z = 1$

	$3$	$x$	$+$	$6$	$y$		$+$	$3$	$z$	$=$	$1$	$2$
$+$					$4$	$y$	$-$	$3$	$z$	$=$		$1$
	$3$	$x$	$+$	$1$	$0$	$y$				$=$	$1$	$3$

	$4$	$0$	$y$	$-$	$3$	$0$	$z$	$=$	$1$	$0$
$+$		$6$	$y$	$+$	$3$	$0$	$z$	$=$	$3$	$6$
	$4$	$6$	$y$					$=$	$4$	$6$

	$-$	$6$	$9$	$x$	$-$	$2$	$3$	$0$	$y$	$=$	$-$	$2$	$9$	$9$
$+$						$2$	$3$	$0$	$y$	$=$		$2$	$3$	$0$
	$-$	$6$	$9$	$x$						$=$		$-$	$6$	$9$

	$3$	$x$	$+$	$6$	$y$		$+$	$3$	$z$	$=$	$1$	$2$
$+$					$4$	$y$	$-$	$3$	$z$	$=$		$1$
	$3$	$x$	$+$	$1$	$0$	$y$				$=$	$1$	$3$

	$4$	$0$	$y$	$-$	$3$	$0$	$z$	$=$	$1$	$0$
$+$		$6$	$y$	$+$	$3$	$0$	$z$	$=$	$3$	$6$
	$4$	$6$	$y$					$=$	$4$	$6$

	$-$	$6$	$9$	$x$	$-$	$2$	$3$	$0$	$y$	$=$	$-$	$2$	$9$	$9$
$+$						$2$	$3$	$0$	$y$	$=$		$2$	$3$	$0$
	$-$	$6$	$9$	$x$						$=$		$-$	$6$	$9$

	$3$	$x$	$+$	$6$	$y$		$+$	$3$	$z$	$=$	$1$	$2$
$+$					$4$	$y$	$-$	$3$	$z$	$=$		$1$
	$3$	$x$	$+$	$1$	$0$	$y$				$=$	$1$	$3$

	$4$	$0$	$y$	$-$	$3$	$0$	$z$	$=$	$1$	$0$
$+$		$6$	$y$	$+$	$3$	$0$	$z$	$=$	$3$	$6$
	$4$	$6$	$y$					$=$	$4$	$6$

	$-$	$6$	$9$	$x$	$-$	$2$	$3$	$0$	$y$	$=$	$-$	$2$	$9$	$9$
$+$						$2$	$3$	$0$	$y$	$=$		$2$	$3$	$0$
	$-$	$6$	$9$	$x$						$=$		$-$	$6$	$9$