Algèbre Exemples

$4 x + y - 2 z = 0$ , $2 x - 3 y + 3 z = 9$ , $- 6 x - 2 y + z = 0$

Étape 1

Choisissez deux équations et éliminez une variable. Dans ce cas, éliminez $y$ .

$4 x + y - 2 z = 0$

$2 x - 3 y + 3 z = 9$

Étape 2

Éliminez $y$ du système.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Multipliez chaque équation par la valeur qui rend les coefficients de $y$ opposés.

$(3) \cdot (4 x + y - 2 z) = (3) (0)$

$2 x - 3 y + 3 z = 9$

Étape 2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1

Simplifiez $(3) \cdot (4 x + y - 2 z)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 (4 x) + 3 y + 3 (- 2 z) = (3) (0)$

$2 x - 3 y + 3 z = 9$

Étape 2.2.1.1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1.2.1

Multipliez $4$ par $3$ .

$12 x + 3 y + 3 (- 2 z) = (3) (0)$

$2 x - 3 y + 3 z = 9$

Étape 2.2.1.1.2.2

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$12 x + 3 y - 6 z = (3) (0)$

$2 x - 3 y + 3 z = 9$

$12 x + 3 y - 6 z = (3) (0)$

$2 x - 3 y + 3 z = 9$

$12 x + 3 y - 6 z = (3) (0)$

$2 x - 3 y + 3 z = 9$

$12 x + 3 y - 6 z = (3) (0)$

$2 x - 3 y + 3 z = 9$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Multipliez $3$ par $0$ .

$12 x + 3 y - 6 z = 0$

$2 x - 3 y + 3 z = 9$

$12 x + 3 y - 6 z = 0$

$2 x - 3 y + 3 z = 9$

$12 x + 3 y - 6 z = 0$

$2 x - 3 y + 3 z = 9$

Étape 2.3

Additionnez les deux équations entre elles pour éliminer $y$ du système.

	$1$	$2$	$x$	$+$	$3$	$y$	$-$	$6$	$z$	$=$	$0$
$+$		$2$	$x$	$-$	$3$	$y$	$+$	$3$	$z$	$=$	$9$
	$1$	$4$	$x$				$-$	$3$	$z$	$=$	$9$

Étape 2.4

$y$ est éliminé de l’équation résultante.

$14 x - 3 z = 9$

Étape 3

Choisissez deux autres équations et éliminez $y$ .

$2 x - 3 y + 3 z = 9$

$- 6 x - 2 y + z = 0$

Étape 4

Éliminez $y$ du système.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Multipliez chaque équation par la valeur qui rend les coefficients de $y$ opposés.

$(- 2) \cdot (2 x - 3 y + 3 z) = (- 2) (9)$

$(3) \cdot (- 6 x - 2 y + z) = (3) (0)$

Étape 4.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1

Simplifiez $(- 2) \cdot (2 x - 3 y + 3 z)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 (2 x) - 2 (- 3 y) - 2 (3 z) = (- 2) (9)$

$(3) \cdot (- 6 x - 2 y + z) = (3) (0)$

Étape 4.2.1.1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1.2.1

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$- 4 x - 2 (- 3 y) - 2 (3 z) = (- 2) (9)$

$(3) \cdot (- 6 x - 2 y + z) = (3) (0)$

Étape 4.2.1.1.2.2

Multipliez $- 3$ par $- 2$ .

$- 4 x + 6 y - 2 (3 z) = (- 2) (9)$

$(3) \cdot (- 6 x - 2 y + z) = (3) (0)$

Étape 4.2.1.1.2.3

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$- 4 x + 6 y - 6 z = (- 2) (9)$

$(3) \cdot (- 6 x - 2 y + z) = (3) (0)$

$- 4 x + 6 y - 6 z = (- 2) (9)$

$(3) \cdot (- 6 x - 2 y + z) = (3) (0)$

$- 4 x + 6 y - 6 z = (- 2) (9)$

$(3) \cdot (- 6 x - 2 y + z) = (3) (0)$

$- 4 x + 6 y - 6 z = (- 2) (9)$

$(3) \cdot (- 6 x - 2 y + z) = (3) (0)$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Multipliez $- 2$ par $9$ .

$- 4 x + 6 y - 6 z = - 18$

$(3) \cdot (- 6 x - 2 y + z) = (3) (0)$

$- 4 x + 6 y - 6 z = - 18$

$(3) \cdot (- 6 x - 2 y + z) = (3) (0)$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.1

Simplifiez $(3) \cdot (- 6 x - 2 y + z)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 4 x + 6 y - 6 z = - 18$

$3 (- 6 x) + 3 (- 2 y) + 3 z = (3) (0)$

Étape 4.2.3.1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.1.2.1

Multipliez $- 6$ par $3$ .

$- 4 x + 6 y - 6 z = - 18$

$- 18 x + 3 (- 2 y) + 3 z = (3) (0)$

Étape 4.2.3.1.2.2

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$- 4 x + 6 y - 6 z = - 18$

$- 18 x - 6 y + 3 z = (3) (0)$

$- 4 x + 6 y - 6 z = - 18$

$- 18 x - 6 y + 3 z = (3) (0)$

$- 4 x + 6 y - 6 z = - 18$

$- 18 x - 6 y + 3 z = (3) (0)$

$- 4 x + 6 y - 6 z = - 18$

$- 18 x - 6 y + 3 z = (3) (0)$

Étape 4.2.4

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.4.1

Multipliez $3$ par $0$ .

$- 4 x + 6 y - 6 z = - 18$

$- 18 x - 6 y + 3 z = 0$

$- 4 x + 6 y - 6 z = - 18$

$- 18 x - 6 y + 3 z = 0$

$- 4 x + 6 y - 6 z = - 18$

$- 18 x - 6 y + 3 z = 0$

Étape 4.3

Additionnez les deux équations entre elles pour éliminer $y$ du système.

		$-$	$4$	$x$	$+$	$6$	$y$	$-$	$6$	$z$	$=$	$-$	$1$	$8$
$+$	$-$	$1$	$8$	$x$	$-$	$6$	$y$	$+$	$3$	$z$	$=$			$0$
	$-$	$2$	$2$	$x$				$-$	$3$	$z$	$=$	$-$	$1$	$8$

Étape 4.4

$y$ est éliminé de l’équation résultante.

$- 22 x - 3 z = - 18$

Étape 5

Prenez les équations résultantes et éliminez une autre variable. Dans ce cas, éliminez $z$ .

$14 x - 3 z = 9$

$- 22 x - 3 z = - 18$

Étape 6

Éliminez $z$ du système.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Multipliez chaque équation par la valeur qui rend les coefficients de $z$ opposés.

$(- 1) \cdot (14 x - 3 z) = (- 1) (9)$

$- 22 x - 3 z = - 18$

Étape 6.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Simplifiez $(- 1) \cdot (14 x - 3 z)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 1 (14 x) - 1 (- 3 z) = (- 1) (9)$

$- 22 x - 3 z = - 18$

Étape 6.2.1.1.2

Multipliez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1.2.1

Multipliez $14$ par $- 1$ .

$- 14 x - 1 (- 3 z) = (- 1) (9)$

$- 22 x - 3 z = - 18$

Étape 6.2.1.1.2.2

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$- 14 x + 3 z = (- 1) (9)$

$- 22 x - 3 z = - 18$

$- 14 x + 3 z = (- 1) (9)$

$- 22 x - 3 z = - 18$

$- 14 x + 3 z = (- 1) (9)$

$- 22 x - 3 z = - 18$

$- 14 x + 3 z = (- 1) (9)$

$- 22 x - 3 z = - 18$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$- 14 x + 3 z = - 9$

$- 22 x - 3 z = - 18$

$- 14 x + 3 z = - 9$

$- 22 x - 3 z = - 18$

$- 14 x + 3 z = - 9$

$- 22 x - 3 z = - 18$

Étape 6.3

Additionnez les deux équations entre elles pour éliminer $z$ du système.

	$-$	$1$	$4$	$x$	$+$	$3$	$z$	$=$		$-$	$9$
$+$	$-$	$2$	$2$	$x$	$-$	$3$	$z$	$=$	$-$	$1$	$8$
	$-$	$3$	$6$	$x$				$=$	$-$	$2$	$7$

Étape 6.4

$z$ est éliminé de l’équation résultante.

$- 36 x = - 27$

Étape 6.5

Divisez chaque terme dans $- 36 x = - 27$ par $- 36$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.1

Divisez chaque terme dans $- 36 x = - 27$ par $- 36$ .

$\frac{- 36 x}{- 36} = \frac{- 27}{- 36}$

Étape 6.5.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.1

Annulez le facteur commun de $- 36$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 36 x}{- 36} = \frac{- 27}{- 36}$

Étape 6.5.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 27}{- 36}$

Étape 6.5.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.3.1

Annulez le facteur commun à $- 27$ et $- 36$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.3.1.1

Factorisez $- 9$ à partir de $- 27$ .

$x = \frac{- 9 (3)}{- 36}$

Étape 6.5.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.3.1.2.1

Factorisez $- 9$ à partir de $- 36$ .

$x = \frac{- 9 \cdot 3}{- 9 \cdot 4}$

Étape 6.5.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{- 9 \cdot 3}{- 9 \cdot 4}$

Étape 6.5.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{3}{4}$

Étape 7

Remplacez la valeur de $x$ dans une équation avec $y$ déjà éliminé et résolvez pour la variable restante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Remplacez la valeur de $x$ dans une équation avec $y$ déjà éliminé.

$14 (\frac{3}{4}) - 3 z = 9$

Étape 7.2

Résolvez $z$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $14$ .

$2 (7) \frac{3}{4} - 3 z = 9$

Étape 7.2.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$2 \cdot 7 \frac{3}{2 \cdot 2} - 3 z = 9$

Étape 7.2.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot 7 \frac{3}{2 \cdot 2} - 3 z = 9$

Étape 7.2.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$7 (\frac{3}{2}) - 3 z = 9$

Étape 7.2.1.2

Associez $7$ et $\frac{3}{2}$ .

$\frac{7 \cdot 3}{2} - 3 z = 9$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $7$ par $3$ .

$\frac{21}{2} - 3 z = 9$

Étape 7.2.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $z$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.1

Soustrayez $\frac{21}{2}$ des deux côtés de l’équation.

$- 3 z = 9 - \frac{21}{2}$

Étape 7.2.2.2

Pour écrire $9$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- 3 z = 9 \cdot \frac{2}{2} - \frac{21}{2}$

Étape 7.2.2.3

Associez $9$ et $\frac{2}{2}$ .

$- 3 z = \frac{9 \cdot 2}{2} - \frac{21}{2}$

Étape 7.2.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 3 z = \frac{9 \cdot 2 - 21}{2}$

Étape 7.2.2.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.5.1

Multipliez $9$ par $2$ .

$- 3 z = \frac{18 - 21}{2}$

Étape 7.2.2.5.2

Soustrayez $21$ de $18$ .

$- 3 z = \frac{- 3}{2}$

Étape 7.2.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 3 z = - \frac{3}{2}$

Étape 7.2.3

Divisez chaque terme dans $- 3 z = - \frac{3}{2}$ par $- 3$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.1

Divisez chaque terme dans $- 3 z = - \frac{3}{2}$ par $- 3$ .

$\frac{- 3 z}{- 3} = \frac{- \frac{3}{2}}{- 3}$

Étape 7.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 z}{- 3} = \frac{- \frac{3}{2}}{- 3}$

Étape 7.2.3.2.1.2

Divisez $z$ par $1$ .

$z = \frac{- \frac{3}{2}}{- 3}$

Étape 7.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$z = - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{- 3}$

Étape 7.2.3.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{2}$ dans le numérateur.

$z = \frac{- 3}{2} \cdot \frac{1}{- 3}$

Étape 7.2.3.3.2.2

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$z = \frac{3 (- 1)}{2} \cdot \frac{1}{- 3}$

Étape 7.2.3.3.2.3

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$z = \frac{3 \cdot - 1}{2} \cdot \frac{1}{3 \cdot - 1}$

Étape 7.2.3.3.2.4

Annulez le facteur commun.

$z = \frac{3 \cdot - 1}{2} \cdot \frac{1}{3 \cdot - 1}$

Étape 7.2.3.3.2.5

Réécrivez l’expression.

$z = \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{- 1}$

Étape 7.2.3.3.3

Multipliez $\frac{- 1}{2}$ par $\frac{1}{- 1}$ .

$z = \frac{- 1}{2 \cdot - 1}$

Étape 7.2.3.3.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$z = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 7.2.3.3.5

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$z = \frac{1}{2}$

Étape 8

Remplacez la valeur de chaque variable connue dans l’une des équations initiales et résolvez pour la dernière variable.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Remplacez la valeur de chaque variable connue dans l’une des équations initiales.

$4 (\frac{3}{4}) + y - 2 (\frac{1}{2}) = 0$

Étape 8.2

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Simplifiez $4 (\frac{3}{4}) + y - 2 (\frac{1}{2})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$4 (\frac{3}{4}) + y - 2 (\frac{1}{2}) = 0$

Étape 8.2.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$3 + y - 2 (\frac{1}{2}) = 0$

Étape 8.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$3 + y + 2 (- 1) \frac{1}{2} = 0$

Étape 8.2.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$3 + y + 2 \cdot - 1 \frac{1}{2} = 0$

Étape 8.2.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$3 + y - 1 = 0$

Étape 8.2.1.2

Soustrayez $1$ de $3$ .

$y + 2 = 0$

Étape 8.2.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$y = - 2$

Étape 9

La solution du système d’équations peut être représentée sous la forme d’un point.

$(\frac{3}{4}, - 2, \frac{1}{2})$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme du point :

$(\frac{3}{4}, - 2, \frac{1}{2})$

Forme de l’équation :

$x = \frac{3}{4}, y = - 2, z = \frac{1}{2}$

	$1$	$2$	$x$	$+$	$3$	$y$	$-$	$6$	$z$	$=$	$0$
$+$		$2$	$x$	$-$	$3$	$y$	$+$	$3$	$z$	$=$	$9$
	$1$	$4$	$x$				$-$	$3$	$z$	$=$	$9$

		$-$	$4$	$x$	$+$	$6$	$y$	$-$	$6$	$z$	$=$	$-$	$1$	$8$
$+$	$-$	$1$	$8$	$x$	$-$	$6$	$y$	$+$	$3$	$z$	$=$			$0$
	$-$	$2$	$2$	$x$				$-$	$3$	$z$	$=$	$-$	$1$	$8$

	$-$	$1$	$4$	$x$	$+$	$3$	$z$	$=$		$-$	$9$
$+$	$-$	$2$	$2$	$x$	$-$	$3$	$z$	$=$	$-$	$1$	$8$
	$-$	$3$	$6$	$x$				$=$	$-$	$2$	$7$

	$1$	$2$	$x$	$+$	$3$	$y$	$-$	$6$	$z$	$=$	$0$
$+$		$2$	$x$	$-$	$3$	$y$	$+$	$3$	$z$	$=$	$9$
	$1$	$4$	$x$				$-$	$3$	$z$	$=$	$9$

		$-$	$4$	$x$	$+$	$6$	$y$	$-$	$6$	$z$	$=$	$-$	$1$	$8$
$+$	$-$	$1$	$8$	$x$	$-$	$6$	$y$	$+$	$3$	$z$	$=$			$0$
	$-$	$2$	$2$	$x$				$-$	$3$	$z$	$=$	$-$	$1$	$8$

	$-$	$1$	$4$	$x$	$+$	$3$	$z$	$=$		$-$	$9$
$+$	$-$	$2$	$2$	$x$	$-$	$3$	$z$	$=$	$-$	$1$	$8$
	$-$	$3$	$6$	$x$				$=$	$-$	$2$	$7$

	$1$	$2$	$x$	$+$	$3$	$y$	$-$	$6$	$z$	$=$	$0$
$+$		$2$	$x$	$-$	$3$	$y$	$+$	$3$	$z$	$=$	$9$
	$1$	$4$	$x$				$-$	$3$	$z$	$=$	$9$

		$-$	$4$	$x$	$+$	$6$	$y$	$-$	$6$	$z$	$=$	$-$	$1$	$8$
$+$	$-$	$1$	$8$	$x$	$-$	$6$	$y$	$+$	$3$	$z$	$=$			$0$
	$-$	$2$	$2$	$x$				$-$	$3$	$z$	$=$	$-$	$1$	$8$

	$-$	$1$	$4$	$x$	$+$	$3$	$z$	$=$		$-$	$9$
$+$	$-$	$2$	$2$	$x$	$-$	$3$	$z$	$=$	$-$	$1$	$8$
	$-$	$3$	$6$	$x$				$=$	$-$	$2$	$7$