Algèbre Exemples

${(x - 5)}^{6}$

Étape 1

Le triangle de Pascal peut être affiché ainsi :

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

$1 - 6 - 15 - 20 - 15 - 6 - 1$

Le triangle peut être utilisé pour calculer les coefficients du développement de ${(a + b)}^{n}$ en prenant l’exposant $n$ et en ajoutant $1$ . Les coefficients correspondront à la droite $n + 1$ du triangle. Pour ${(x - 5)}^{6}$ , $n = 6$ les coefficients du développement correspondront donc à la droite $7$ .

Étape 2

Le développement suit la règle ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Les valeurs des coefficients, à partir du triangle, sont $1 - 6 - 15 - 20 - 15 - 6 - 1$ .

$1 a^{6} b^{0} + 6 a^{5} b + 15 a^{4} b^{2} + 20 a^{3} b^{3} + 15 a^{2} b^{4} + 6 a b^{5} + 1 a^{0} b^{6}$

Étape 3

Remplacez les valeurs réelles de $a$ $x$ et $b$ $- 5$ dans l’expression.

$1 {(x)}^{6} {(- 5)}^{0} + 6 {(x)}^{5} {(- 5)}^{1} + 15 {(x)}^{4} {(- 5)}^{2} + 20 {(x)}^{3} {(- 5)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(- 5)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(- 5)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(- 5)}^{6}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Multipliez ${(x)}^{6}$ par $1$ .

${(x)}^{6} {(- 5)}^{0} + 6 {(x)}^{5} {(- 5)}^{1} + 15 {(x)}^{4} {(- 5)}^{2} + 20 {(x)}^{3} {(- 5)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(- 5)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(- 5)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(- 5)}^{6}$

Étape 4.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$x^{6} \cdot 1 + 6 {(x)}^{5} {(- 5)}^{1} + 15 {(x)}^{4} {(- 5)}^{2} + 20 {(x)}^{3} {(- 5)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(- 5)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(- 5)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(- 5)}^{6}$

Étape 4.3

Multipliez $x^{6}$ par $1$ .

$x^{6} + 6 {(x)}^{5} {(- 5)}^{1} + 15 {(x)}^{4} {(- 5)}^{2} + 20 {(x)}^{3} {(- 5)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(- 5)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(- 5)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(- 5)}^{6}$

Étape 4.4

Évaluez l’exposant.

$x^{6} + 6 x^{5} \cdot - 5 + 15 {(x)}^{4} {(- 5)}^{2} + 20 {(x)}^{3} {(- 5)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(- 5)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(- 5)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(- 5)}^{6}$

Étape 4.5

Multipliez $- 5$ par $6$ .

$x^{6} - 30 x^{5} + 15 {(x)}^{4} {(- 5)}^{2} + 20 {(x)}^{3} {(- 5)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(- 5)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(- 5)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(- 5)}^{6}$

Étape 4.6

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$x^{6} - 30 x^{5} + 15 x^{4} \cdot 25 + 20 {(x)}^{3} {(- 5)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(- 5)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(- 5)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(- 5)}^{6}$

Étape 4.7

Multipliez $25$ par $15$ .

$x^{6} - 30 x^{5} + 375 x^{4} + 20 {(x)}^{3} {(- 5)}^{3} + 15 {(x)}^{2} {(- 5)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(- 5)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(- 5)}^{6}$

Étape 4.8

Élevez $- 5$ à la puissance $3$ .

$x^{6} - 30 x^{5} + 375 x^{4} + 20 x^{3} \cdot - 125 + 15 {(x)}^{2} {(- 5)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(- 5)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(- 5)}^{6}$

Étape 4.9

Multipliez $- 125$ par $20$ .

$x^{6} - 30 x^{5} + 375 x^{4} - 2500 x^{3} + 15 {(x)}^{2} {(- 5)}^{4} + 6 {(x)}^{1} {(- 5)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(- 5)}^{6}$

Étape 4.10

Élevez $- 5$ à la puissance $4$ .

$x^{6} - 30 x^{5} + 375 x^{4} - 2500 x^{3} + 15 x^{2} \cdot 625 + 6 {(x)}^{1} {(- 5)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(- 5)}^{6}$

Étape 4.11

Multipliez $625$ par $15$ .

$x^{6} - 30 x^{5} + 375 x^{4} - 2500 x^{3} + 9375 x^{2} + 6 {(x)}^{1} {(- 5)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(- 5)}^{6}$

Étape 4.12

Simplifiez

$x^{6} - 30 x^{5} + 375 x^{4} - 2500 x^{3} + 9375 x^{2} + 6 x {(- 5)}^{5} + 1 {(x)}^{0} {(- 5)}^{6}$

Étape 4.13

Élevez $- 5$ à la puissance $5$ .

$x^{6} - 30 x^{5} + 375 x^{4} - 2500 x^{3} + 9375 x^{2} + 6 x \cdot - 3125 + 1 {(x)}^{0} {(- 5)}^{6}$

Étape 4.14

Multipliez $- 3125$ par $6$ .

$x^{6} - 30 x^{5} + 375 x^{4} - 2500 x^{3} + 9375 x^{2} - 18750 x + 1 {(x)}^{0} {(- 5)}^{6}$

Étape 4.15

Multipliez ${(x)}^{0}$ par $1$ .

$x^{6} - 30 x^{5} + 375 x^{4} - 2500 x^{3} + 9375 x^{2} - 18750 x + {(x)}^{0} {(- 5)}^{6}$

Étape 4.16

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$x^{6} - 30 x^{5} + 375 x^{4} - 2500 x^{3} + 9375 x^{2} - 18750 x + 1 {(- 5)}^{6}$

Étape 4.17

Multipliez ${(- 5)}^{6}$ par $1$ .

$x^{6} - 30 x^{5} + 375 x^{4} - 2500 x^{3} + 9375 x^{2} - 18750 x + {(- 5)}^{6}$

Étape 4.18

Élevez $- 5$ à la puissance $6$ .

$x^{6} - 30 x^{5} + 375 x^{4} - 2500 x^{3} + 9375 x^{2} - 18750 x + 15625$