Algèbre Exemples

$\frac{1}{x} + \frac{1}{3} < \frac{1}{5}$

Étape 1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’inégalité.

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Étape 1.1

Soustrayez $\frac{1}{3}$ des deux côtés de l’inégalité.

$\frac{1}{x} < \frac{1}{5} - \frac{1}{3}$

Étape 1.2

Pour écrire $\frac{1}{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{x} < \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

Étape 1.3

Pour écrire $- \frac{1}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{x} < \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Étape 1.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $15$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.4.1

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{x} < \frac{3}{5 \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Étape 1.4.2

Multipliez $5$ par $3$ .

$\frac{1}{x} < \frac{3}{15} - \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Étape 1.4.3

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{x} < \frac{3}{15} - \frac{5}{3 \cdot 5}$

Étape 1.4.4

Multipliez $3$ par $5$ .

$\frac{1}{x} < \frac{3}{15} - \frac{5}{15}$

Étape 1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{x} < \frac{3 - 5}{15}$

Étape 1.6

Soustrayez $5$ de $3$ .

$\frac{1}{x} < \frac{- 2}{15}$

Étape 1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{x} < - \frac{2}{15}$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $x$ .

$\frac{1}{x} x = - \frac{2}{15} x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x} x = - \frac{2}{15} x$

Étape 3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$1 = - \frac{2}{15} x$

Étape 3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.1

Simplifiez $- \frac{2}{15} x$ .

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Étape 3.2.1.1

Associez $x$ et $\frac{2}{15}$ .

$1 = - \frac{x \cdot 2}{15}$

Étape 3.2.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$1 = - \frac{2 x}{15}$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $- \frac{2 x}{15} = 1$ .

$- \frac{2 x}{15} = 1$

Étape 4.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- \frac{15}{2}$ .

$- \frac{15}{2} (- \frac{2 x}{15}) = - \frac{15}{2} \cdot 1$

Étape 4.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 4.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.1.1

Simplifiez $- \frac{15}{2} (- \frac{2 x}{15})$ .

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Étape 4.3.1.1.1

Annulez le facteur commun de $15$ .

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Étape 4.3.1.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{15}{2}$ dans le numérateur.

$\frac{- 15}{2} (- \frac{2 x}{15}) = - \frac{15}{2} \cdot 1$

Étape 4.3.1.1.1.2

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2 x}{15}$ dans le numérateur.

$\frac{- 15}{2} \cdot \frac{- 2 x}{15} = - \frac{15}{2} \cdot 1$

Étape 4.3.1.1.1.3

Factorisez $15$ à partir de $- 15$ .

$\frac{15 (- 1)}{2} \cdot \frac{- 2 x}{15} = - \frac{15}{2} \cdot 1$

Étape 4.3.1.1.1.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{15 \cdot - 1}{2} \cdot \frac{- 2 x}{15} = - \frac{15}{2} \cdot 1$

Étape 4.3.1.1.1.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{2} (- 2 x) = - \frac{15}{2} \cdot 1$

Étape 4.3.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{- 1}{2} (2 (- x)) = - \frac{15}{2} \cdot 1$

Étape 4.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{2} (2 (- x)) = - \frac{15}{2} \cdot 1$

Étape 4.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$- - x = - \frac{15}{2} \cdot 1$

Étape 4.3.1.1.3

Multipliez.

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Étape 4.3.1.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 x = - \frac{15}{2} \cdot 1$

Étape 4.3.1.1.3.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$x = - \frac{15}{2} \cdot 1$

Étape 4.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$x = - \frac{15}{2}$

Étape 5

Déterminez le domaine de $\frac{1}{x} + \frac{2}{15}$ .

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Étape 5.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = 0$

Étape 5.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 6

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - \frac{15}{2}$

$- \frac{15}{2} < x < 0$

$x > 0$

Étape 7

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 7.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{15}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{15}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 10$

Étape 7.1.2

Remplacez $x$ par $- 10$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{1}{- 10} + \frac{1}{3} < \frac{1}{5}$

Étape 7.1.3

Le côté gauche $0.2\overline{3}$ n’est pas inférieur au côté droit $0.2$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 7.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- \frac{15}{2} < x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- \frac{15}{2} < x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 7.2.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{1}{- 4} + \frac{1}{3} < \frac{1}{5}$

Étape 7.2.3

Le côté gauche $0.08\overline{3}$ est inférieur au côté droit $0.2$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 7.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 7.3.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} < \frac{1}{5}$

Étape 7.3.3

Le côté gauche $0.8\overline{3}$ n’est pas inférieur au côté droit $0.2$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 7.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - \frac{15}{2}$ Faux

$- \frac{15}{2} < x < 0$ Vrai

$x > 0$ Faux

$x < - \frac{15}{2}$ Faux

$- \frac{15}{2} < x < 0$ Vrai

$x > 0$ Faux

Étape 8

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- \frac{15}{2} < x < 0$

Étape 9