Algèbre Exemples

$f (x) = 11 x^{4} + 11 x^{3} - x^{2} - 44 x - 44$

Étape 1

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ .

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Étape 1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 11, \pm 22, \pm 44$

$q = \pm 1, \pm 11$

Étape 1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm \frac{1}{11}, \pm 2, \pm \frac{2}{11}, \pm 4, \pm \frac{4}{11}, \pm 11, \pm 22, \pm 44$

Étape 2

Appliquez la division synthétique sur $\frac{11 x^{4} + 11 x^{3} - x^{2} - 44 x - 44}{x - 2}$ quand $x = 2$ .

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Étape 2.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$2$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$

Étape 2.2

Le premier nombre dans le dividende $(11)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$2$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$

	$11$

Étape 2.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(11)$ par le diviseur $(2)$ et placez le résultat de $(22)$ sous le terme suivant dans le dividende $(11)$ .

$2$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$22$
	$11$

Étape 2.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$2$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$22$
	$11$	$33$

Étape 2.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(33)$ par le diviseur $(2)$ et placez le résultat de $(66)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 1)$ .

$2$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$22$	$66$
	$11$	$33$

Étape 2.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$2$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$22$	$66$
	$11$	$33$	$65$

Étape 2.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(65)$ par le diviseur $(2)$ et placez le résultat de $(130)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 44)$ .

$2$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$22$	$66$	$130$
	$11$	$33$	$65$

Étape 2.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$2$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$22$	$66$	$130$
	$11$	$33$	$65$	$86$

Étape 2.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(86)$ par le diviseur $(2)$ et placez le résultat de $(172)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 44)$ .

$2$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$22$	$66$	$130$	$172$
	$11$	$33$	$65$	$86$

Étape 2.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$2$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$22$	$66$	$130$	$172$
	$11$	$33$	$65$	$86$	$128$

Étape 2.11

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$11 x^{3} + 33 x^{2} + (65) x + 86 + \frac{128}{x - 2}$

Étape 2.12

Simplifiez le polynôme quotient.

$11 x^{3} + 33 x^{2} + 65 x + 86 + \frac{128}{x - 2}$

Étape 3

Comme $2 > 0$ et tous les signes de la ligne du bas de la division synthétique sont positifs, $2$ est une borne supérieure pour les racines réelles de la fonction.

Borne supérieure : $2$

Étape 4

Appliquez la division synthétique sur $\frac{11 x^{4} + 11 x^{3} - x^{2} - 44 x - 44}{x + 2}$ quand $x = - 2$ .

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Étape 4.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$- 2$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$

Étape 4.2

Le premier nombre dans le dividende $(11)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$- 2$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$

	$11$

Étape 4.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(11)$ par le diviseur $(- 2)$ et placez le résultat de $(- 22)$ sous le terme suivant dans le dividende $(11)$ .

$- 2$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$- 22$
	$11$

Étape 4.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 2$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$- 22$
	$11$	$- 11$

Étape 4.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 11)$ par le diviseur $(- 2)$ et placez le résultat de $(22)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 1)$ .

$- 2$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$- 22$	$22$
	$11$	$- 11$

Étape 4.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 2$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$- 22$	$22$
	$11$	$- 11$	$21$

Étape 4.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(21)$ par le diviseur $(- 2)$ et placez le résultat de $(- 42)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 44)$ .

$- 2$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$- 22$	$22$	$- 42$
	$11$	$- 11$	$21$

Étape 4.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 2$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$- 22$	$22$	$- 42$
	$11$	$- 11$	$21$	$- 86$

Étape 4.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 86)$ par le diviseur $(- 2)$ et placez le résultat de $(172)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 44)$ .

$- 2$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$- 22$	$22$	$- 42$	$172$
	$11$	$- 11$	$21$	$- 86$

Étape 4.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 2$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$- 22$	$22$	$- 42$	$172$
	$11$	$- 11$	$21$	$- 86$	$128$

Étape 4.11

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$11 x^{3} + - 11 x^{2} + (21) x - 86 + \frac{128}{x + 2}$

Étape 4.12

Simplifiez le polynôme quotient.

$11 x^{3} - 11 x^{2} + 21 x - 86 + \frac{128}{x + 2}$

Étape 5

Comme $- 2 < 0$ et les signes de la ligne du bas de la division synthétique changent de signe, $- 2$ est une borne inférieure pour les racines réelles de la fonction.

Borne inférieure : $- 2$

Étape 6

Appliquez la division synthétique sur $\frac{11 x^{4} + 11 x^{3} - x^{2} - 44 x - 44}{x - 4}$ quand $x = 4$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$4$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(11)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$4$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$

	$11$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(11)$ par le diviseur $(4)$ et placez le résultat de $(44)$ sous le terme suivant dans le dividende $(11)$ .

$4$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$44$
	$11$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$4$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$44$
	$11$	$55$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(55)$ par le diviseur $(4)$ et placez le résultat de $(220)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 1)$ .

$4$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$44$	$220$
	$11$	$55$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$4$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$44$	$220$
	$11$	$55$	$219$

Étape 6.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(219)$ par le diviseur $(4)$ et placez le résultat de $(876)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 44)$ .

$4$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$44$	$220$	$876$
	$11$	$55$	$219$

Étape 6.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$4$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$44$	$220$	$876$
	$11$	$55$	$219$	$832$

Étape 6.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(832)$ par le diviseur $(4)$ et placez le résultat de $(3328)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 44)$ .

$4$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$44$	$220$	$876$	$3328$
	$11$	$55$	$219$	$832$

Étape 6.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$4$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$44$	$220$	$876$	$3328$
	$11$	$55$	$219$	$832$	$3284$

Étape 6.11

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$11 x^{3} + 55 x^{2} + (219) x + 832 + \frac{3284}{x - 4}$

Étape 6.12

Simplifiez le polynôme quotient.

$11 x^{3} + 55 x^{2} + 219 x + 832 + \frac{3284}{x - 4}$

Étape 7

Comme $4 > 0$ et tous les signes de la ligne du bas de la division synthétique sont positifs, $4$ est une borne supérieure pour les racines réelles de la fonction.

Borne supérieure : $4$

Étape 8

Appliquez la division synthétique sur $\frac{11 x^{4} + 11 x^{3} - x^{2} - 44 x - 44}{x + 4}$ quand $x = - 4$ .

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Étape 8.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$- 4$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$

Étape 8.2

Le premier nombre dans le dividende $(11)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$- 4$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$

	$11$

Étape 8.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(11)$ par le diviseur $(- 4)$ et placez le résultat de $(- 44)$ sous le terme suivant dans le dividende $(11)$ .

$- 4$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$- 44$
	$11$

Étape 8.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 4$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$- 44$
	$11$	$- 33$

Étape 8.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 33)$ par le diviseur $(- 4)$ et placez le résultat de $(132)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 1)$ .

$- 4$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$- 44$	$132$
	$11$	$- 33$

Étape 8.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 4$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$- 44$	$132$
	$11$	$- 33$	$131$

Étape 8.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(131)$ par le diviseur $(- 4)$ et placez le résultat de $(- 524)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 44)$ .

$- 4$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$- 44$	$132$	$- 524$
	$11$	$- 33$	$131$

Étape 8.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 4$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$- 44$	$132$	$- 524$
	$11$	$- 33$	$131$	$- 568$

Étape 8.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 568)$ par le diviseur $(- 4)$ et placez le résultat de $(2272)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 44)$ .

$- 4$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$- 44$	$132$	$- 524$	$2272$
	$11$	$- 33$	$131$	$- 568$

Étape 8.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 4$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$- 44$	$132$	$- 524$	$2272$
	$11$	$- 33$	$131$	$- 568$	$2228$

Étape 8.11

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$11 x^{3} + - 33 x^{2} + (131) x - 568 + \frac{2228}{x + 4}$

Étape 8.12

Simplifiez le polynôme quotient.

$11 x^{3} - 33 x^{2} + 131 x - 568 + \frac{2228}{x + 4}$

Étape 9

Comme $- 4 < 0$ et les signes de la ligne du bas de la division synthétique changent de signe, $- 4$ est une borne inférieure pour les racines réelles de la fonction.

Borne inférieure : $- 4$

Étape 10

Appliquez la division synthétique sur $\frac{11 x^{4} + 11 x^{3} - x^{2} - 44 x - 44}{x - 11}$ quand $x = 11$ .

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Étape 10.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$11$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$

Étape 10.2

Le premier nombre dans le dividende $(11)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$11$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$

	$11$

Étape 10.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(11)$ par le diviseur $(11)$ et placez le résultat de $(121)$ sous le terme suivant dans le dividende $(11)$ .

$11$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$121$
	$11$

Étape 10.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$11$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$121$
	$11$	$132$

Étape 10.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(132)$ par le diviseur $(11)$ et placez le résultat de $(1452)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 1)$ .

$11$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$121$	$1452$
	$11$	$132$

Étape 10.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$11$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$121$	$1452$
	$11$	$132$	$1451$

Étape 10.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1451)$ par le diviseur $(11)$ et placez le résultat de $(15961)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 44)$ .

$11$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$121$	$1452$	$15961$
	$11$	$132$	$1451$

Étape 10.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$11$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$121$	$1452$	$15961$
	$11$	$132$	$1451$	$15917$

Étape 10.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(15917)$ par le diviseur $(11)$ et placez le résultat de $(175087)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 44)$ .

$11$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$121$	$1452$	$15961$	$175087$
	$11$	$132$	$1451$	$15917$

Étape 10.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$11$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$121$	$1452$	$15961$	$175087$
	$11$	$132$	$1451$	$15917$	$175043$

Étape 10.11

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$11 x^{3} + 132 x^{2} + (1451) x + 15917 + \frac{175043}{x - 11}$

Étape 10.12

Simplifiez le polynôme quotient.

$11 x^{3} + 132 x^{2} + 1451 x + 15917 + \frac{175043}{x - 11}$

Étape 11

Comme $11 > 0$ et tous les signes de la ligne du bas de la division synthétique sont positifs, $11$ est une borne supérieure pour les racines réelles de la fonction.

Borne supérieure : $11$

Étape 12

Appliquez la division synthétique sur $\frac{11 x^{4} + 11 x^{3} - x^{2} - 44 x - 44}{x + 11}$ quand $x = - 11$ .

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Étape 12.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$- 11$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$

Étape 12.2

Le premier nombre dans le dividende $(11)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$- 11$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$

	$11$

Étape 12.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(11)$ par le diviseur $(- 11)$ et placez le résultat de $(- 121)$ sous le terme suivant dans le dividende $(11)$ .

$- 11$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$- 121$
	$11$

Étape 12.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 11$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$- 121$
	$11$	$- 110$

Étape 12.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 110)$ par le diviseur $(- 11)$ et placez le résultat de $(1210)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 1)$ .

$- 11$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$- 121$	$1210$
	$11$	$- 110$

Étape 12.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 11$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$- 121$	$1210$
	$11$	$- 110$	$1209$

Étape 12.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1209)$ par le diviseur $(- 11)$ et placez le résultat de $(- 13299)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 44)$ .

$- 11$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$- 121$	$1210$	$- 13299$
	$11$	$- 110$	$1209$

Étape 12.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 11$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$- 121$	$1210$	$- 13299$
	$11$	$- 110$	$1209$	$- 13343$

Étape 12.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 13343)$ par le diviseur $(- 11)$ et placez le résultat de $(146773)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 44)$ .

$- 11$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$- 121$	$1210$	$- 13299$	$146773$
	$11$	$- 110$	$1209$	$- 13343$

Étape 12.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 11$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$- 121$	$1210$	$- 13299$	$146773$
	$11$	$- 110$	$1209$	$- 13343$	$146729$

Étape 12.11

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$11 x^{3} + - 110 x^{2} + (1209) x - 13343 + \frac{146729}{x + 11}$

Étape 12.12

Simplifiez le polynôme quotient.

$11 x^{3} - 110 x^{2} + 1209 x - 13343 + \frac{146729}{x + 11}$

Étape 13

Comme $- 11 < 0$ et les signes de la ligne du bas de la division synthétique changent de signe, $- 11$ est une borne inférieure pour les racines réelles de la fonction.

Borne inférieure : $- 11$

Étape 14

Appliquez la division synthétique sur $\frac{11 x^{4} + 11 x^{3} - x^{2} - 44 x - 44}{x - 22}$ quand $x = 22$ .

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Étape 14.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$22$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$

Étape 14.2

Le premier nombre dans le dividende $(11)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$22$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$

	$11$

Étape 14.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(11)$ par le diviseur $(22)$ et placez le résultat de $(242)$ sous le terme suivant dans le dividende $(11)$ .

$22$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$242$
	$11$

Étape 14.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$22$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$242$
	$11$	$253$

Étape 14.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(253)$ par le diviseur $(22)$ et placez le résultat de $(5566)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 1)$ .

$22$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$242$	$5566$
	$11$	$253$

Étape 14.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$22$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$242$	$5566$
	$11$	$253$	$5565$

Étape 14.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(5565)$ par le diviseur $(22)$ et placez le résultat de $(122430)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 44)$ .

$22$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$242$	$5566$	$122430$
	$11$	$253$	$5565$

Étape 14.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$22$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$242$	$5566$	$122430$
	$11$	$253$	$5565$	$122386$

Étape 14.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(122386)$ par le diviseur $(22)$ et placez le résultat de $(2692492)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 44)$ .

$22$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$242$	$5566$	$122430$	$2692492$
	$11$	$253$	$5565$	$122386$

Étape 14.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$22$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$242$	$5566$	$122430$	$2692492$
	$11$	$253$	$5565$	$122386$	$2692448$

Étape 14.11

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$11 x^{3} + 253 x^{2} + (5565) x + 122386 + \frac{2692448}{x - 22}$

Étape 14.12

Simplifiez le polynôme quotient.

$11 x^{3} + 253 x^{2} + 5565 x + 122386 + \frac{2692448}{x - 22}$

Étape 15

Comme $22 > 0$ et tous les signes de la ligne du bas de la division synthétique sont positifs, $22$ est une borne supérieure pour les racines réelles de la fonction.

Borne supérieure : $22$

Étape 16

Appliquez la division synthétique sur $\frac{11 x^{4} + 11 x^{3} - x^{2} - 44 x - 44}{x + 22}$ quand $x = - 22$ .

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Étape 16.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$- 22$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$

Étape 16.2

Le premier nombre dans le dividende $(11)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$- 22$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$

	$11$

Étape 16.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(11)$ par le diviseur $(- 22)$ et placez le résultat de $(- 242)$ sous le terme suivant dans le dividende $(11)$ .

$- 22$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$- 242$
	$11$

Étape 16.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 22$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$- 242$
	$11$	$- 231$

Étape 16.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 231)$ par le diviseur $(- 22)$ et placez le résultat de $(5082)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 1)$ .

$- 22$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$- 242$	$5082$
	$11$	$- 231$

Étape 16.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 22$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$- 242$	$5082$
	$11$	$- 231$	$5081$

Étape 16.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(5081)$ par le diviseur $(- 22)$ et placez le résultat de $(- 111782)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 44)$ .

$- 22$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$- 242$	$5082$	$- 111782$
	$11$	$- 231$	$5081$

Étape 16.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 22$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$- 242$	$5082$	$- 111782$
	$11$	$- 231$	$5081$	$- 111826$

Étape 16.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 111826)$ par le diviseur $(- 22)$ et placez le résultat de $(2460172)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 44)$ .

$- 22$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$- 242$	$5082$	$- 111782$	$2460172$
	$11$	$- 231$	$5081$	$- 111826$

Étape 16.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 22$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$- 242$	$5082$	$- 111782$	$2460172$
	$11$	$- 231$	$5081$	$- 111826$	$2460128$

Étape 16.11

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$11 x^{3} + - 231 x^{2} + (5081) x - 111826 + \frac{2460128}{x + 22}$

Étape 16.12

Simplifiez le polynôme quotient.

$11 x^{3} - 231 x^{2} + 5081 x - 111826 + \frac{2460128}{x + 22}$

Étape 17

Comme $- 22 < 0$ et les signes de la ligne du bas de la division synthétique changent de signe, $- 22$ est une borne inférieure pour les racines réelles de la fonction.

Borne inférieure : $- 22$

Étape 18

Appliquez la division synthétique sur $\frac{11 x^{4} + 11 x^{3} - x^{2} - 44 x - 44}{x - 44}$ quand $x = 44$ .

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Étape 18.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$44$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$

Étape 18.2

Le premier nombre dans le dividende $(11)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$44$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$

	$11$

Étape 18.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(11)$ par le diviseur $(44)$ et placez le résultat de $(484)$ sous le terme suivant dans le dividende $(11)$ .

$44$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$484$
	$11$

Étape 18.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$44$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$484$
	$11$	$495$

Étape 18.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(495)$ par le diviseur $(44)$ et placez le résultat de $(21780)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 1)$ .

$44$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$484$	$21780$
	$11$	$495$

Étape 18.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$44$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$484$	$21780$
	$11$	$495$	$21779$

Étape 18.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(21779)$ par le diviseur $(44)$ et placez le résultat de $(958276)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 44)$ .

$44$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$484$	$21780$	$958276$
	$11$	$495$	$21779$

Étape 18.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$44$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$484$	$21780$	$958276$
	$11$	$495$	$21779$	$958232$

Étape 18.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(958232)$ par le diviseur $(44)$ et placez le résultat de $(42162208)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 44)$ .

$44$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$484$	$21780$	$958276$	$42162208$
	$11$	$495$	$21779$	$958232$

Étape 18.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$44$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$484$	$21780$	$958276$	$42162208$
	$11$	$495$	$21779$	$958232$	$42162164$

Étape 18.11

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$11 x^{3} + 495 x^{2} + (21779) x + 958232 + \frac{42162164}{x - 44}$

Étape 18.12

Simplifiez le polynôme quotient.

$11 x^{3} + 495 x^{2} + 21779 x + 958232 + \frac{42162164}{x - 44}$

Étape 19

Comme $44 > 0$ et tous les signes de la ligne du bas de la division synthétique sont positifs, $44$ est une borne supérieure pour les racines réelles de la fonction.

Borne supérieure : $44$

Étape 20

Appliquez la division synthétique sur $\frac{11 x^{4} + 11 x^{3} - x^{2} - 44 x - 44}{x + 44}$ quand $x = - 44$ .

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Étape 20.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$- 44$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$

Étape 20.2

Le premier nombre dans le dividende $(11)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$- 44$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$

	$11$

Étape 20.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(11)$ par le diviseur $(- 44)$ et placez le résultat de $(- 484)$ sous le terme suivant dans le dividende $(11)$ .

$- 44$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$- 484$
	$11$

Étape 20.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 44$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$- 484$
	$11$	$- 473$

Étape 20.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 473)$ par le diviseur $(- 44)$ et placez le résultat de $(20812)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 1)$ .

$- 44$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$- 484$	$20812$
	$11$	$- 473$

Étape 20.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 44$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$- 484$	$20812$
	$11$	$- 473$	$20811$

Étape 20.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(20811)$ par le diviseur $(- 44)$ et placez le résultat de $(- 915684)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 44)$ .

$- 44$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$- 484$	$20812$	$- 915684$
	$11$	$- 473$	$20811$

Étape 20.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 44$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$- 484$	$20812$	$- 915684$
	$11$	$- 473$	$20811$	$- 915728$

Étape 20.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 915728)$ par le diviseur $(- 44)$ et placez le résultat de $(40292032)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 44)$ .

$- 44$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$- 484$	$20812$	$- 915684$	$40292032$
	$11$	$- 473$	$20811$	$- 915728$

Étape 20.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 44$	$11$	$11$	$- 1$	$- 44$	$- 44$
		$- 484$	$20812$	$- 915684$	$40292032$
	$11$	$- 473$	$20811$	$- 915728$	$40291988$

Étape 20.11

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$11 x^{3} + - 473 x^{2} + (20811) x - 915728 + \frac{40291988}{x + 44}$

Étape 20.12

Simplifiez le polynôme quotient.

$11 x^{3} - 473 x^{2} + 20811 x - 915728 + \frac{40291988}{x + 44}$

Étape 21

Comme $- 44 < 0$ et les signes de la ligne du bas de la division synthétique changent de signe, $- 44$ est une borne inférieure pour les racines réelles de la fonction.

Borne inférieure : $- 44$

Étape 22

Déterminez les limites supérieures et inférieures.

Bornes supérieures : $2, 4, 11, 22, 44$

Bornes inférieures : $- 2, - 4, - 11, - 22, - 44$

Étape 23