Algèbre Exemples

$8 x^{3} - 10 x^{2} - 7 x - 1 = 0$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm \frac{1}{8}$

Étape 3

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

$8 {(- \frac{1}{4})}^{3} - 10 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 7 (- \frac{1}{4}) - 1$

Étape 4

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $x = - \frac{1}{4}$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{4}$ .

$8 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{4})}^{3}) - 10 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 7 (- \frac{1}{4}) - 1$

Étape 4.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{4}$ .

$8 ({(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{4^{3}}) - 10 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 7 (- \frac{1}{4}) - 1$

Étape 4.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$8 (- \frac{1^{3}}{4^{3}}) - 10 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 7 (- \frac{1}{4}) - 1$

Étape 4.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$8 (- \frac{1}{4^{3}}) - 10 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 7 (- \frac{1}{4}) - 1$

Étape 4.1.4

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$8 (- \frac{1}{64}) - 10 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 7 (- \frac{1}{4}) - 1$

Étape 4.1.5

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 4.1.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{64}$ dans le numérateur.

$8 (\frac{- 1}{64}) - 10 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 7 (- \frac{1}{4}) - 1$

Étape 4.1.5.2

Factorisez $8$ à partir de $64$ .

$8 \frac{- 1}{8 (8)} - 10 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 7 (- \frac{1}{4}) - 1$

Étape 4.1.5.3

Annulez le facteur commun.

$8 \frac{- 1}{8 \cdot 8} - 10 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 7 (- \frac{1}{4}) - 1$

Étape 4.1.5.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{8} - 10 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 7 (- \frac{1}{4}) - 1$

Étape 4.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{8} - 10 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 7 (- \frac{1}{4}) - 1$

Étape 4.1.7

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.1.7.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{8} - 10 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{4})}^{2}) - 7 (- \frac{1}{4}) - 1$

Étape 4.1.7.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{8} - 10 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{4^{2}}) - 7 (- \frac{1}{4}) - 1$

Étape 4.1.8

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- \frac{1}{8} - 10 (1 \frac{1^{2}}{4^{2}}) - 7 (- \frac{1}{4}) - 1$

Étape 4.1.9

Multipliez $\frac{1^{2}}{4^{2}}$ par $1$ .

$- \frac{1}{8} - 10 \frac{1^{2}}{4^{2}} - 7 (- \frac{1}{4}) - 1$

Étape 4.1.10

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{1}{8} - 10 \frac{1}{4^{2}} - 7 (- \frac{1}{4}) - 1$

Étape 4.1.11

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$- \frac{1}{8} - 10 (\frac{1}{16}) - 7 (- \frac{1}{4}) - 1$

Étape 4.1.12

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.12.1

Factorisez $2$ à partir de $- 10$ .

$- \frac{1}{8} + 2 (- 5) \frac{1}{16} - 7 (- \frac{1}{4}) - 1$

Étape 4.1.12.2

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$- \frac{1}{8} + 2 \cdot - 5 \frac{1}{2 \cdot 8} - 7 (- \frac{1}{4}) - 1$

Étape 4.1.12.3

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{8} + 2 \cdot - 5 \frac{1}{2 \cdot 8} - 7 (- \frac{1}{4}) - 1$

Étape 4.1.12.4

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{8} - 5 (\frac{1}{8}) - 7 (- \frac{1}{4}) - 1$

Étape 4.1.13

Associez $- 5$ et $\frac{1}{8}$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{- 5}{8} - 7 (- \frac{1}{4}) - 1$

Étape 4.1.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{8} - \frac{5}{8} - 7 (- \frac{1}{4}) - 1$

Étape 4.1.15

Multipliez $- 7 (- \frac{1}{4})$ .

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Étape 4.1.15.1

Multipliez $- 1$ par $- 7$ .

$- \frac{1}{8} - \frac{5}{8} + 7 (\frac{1}{4}) - 1$

Étape 4.1.15.2

Associez $7$ et $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{8} - \frac{5}{8} + \frac{7}{4} - 1$

Étape 4.2

Associez les fractions.

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Étape 4.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 1 + \frac{- 1 - 5}{8} + \frac{7}{4}$

Étape 4.2.2

Soustrayez $5$ de $- 1$ .

$- 1 + \frac{- 6}{8} + \frac{7}{4}$

Étape 4.3

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 4.3.1

Écrivez $- 1$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{- 1}{1} + \frac{- 6}{8} + \frac{7}{4}$

Étape 4.3.2

Multipliez $\frac{- 1}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{8}{8} + \frac{- 6}{8} + \frac{7}{4}$

Étape 4.3.3

Multipliez $\frac{- 1}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 1 \cdot 8}{8} + \frac{- 6}{8} + \frac{7}{4}$

Étape 4.3.4

Multipliez $\frac{7}{4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 8}{8} + \frac{- 6}{8} + \frac{7}{4} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 4.3.5

Multipliez $\frac{7}{4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 8}{8} + \frac{- 6}{8} + \frac{7 \cdot 2}{4 \cdot 2}$

Étape 4.3.6

Réorganisez les facteurs de $4 \cdot 2$ .

$\frac{- 1 \cdot 8}{8} + \frac{- 6}{8} + \frac{7 \cdot 2}{2 \cdot 4}$

Étape 4.3.7

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{- 1 \cdot 8}{8} + \frac{- 6}{8} + \frac{7 \cdot 2}{8}$

Étape 4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 1 \cdot 8 - 6 + 7 \cdot 2}{8}$

Étape 4.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.5.1

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$\frac{- 8 - 6 + 7 \cdot 2}{8}$

Étape 4.5.2

Multipliez $7$ par $2$ .

$\frac{- 8 - 6 + 14}{8}$

Étape 4.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.6.1

Soustrayez $6$ de $- 8$ .

$\frac{- 14 + 14}{8}$

Étape 4.6.2

Additionnez $- 14$ et $14$ .

$\frac{0}{8}$

Étape 4.6.3

Divisez $0$ par $8$ .

$0$

Étape 5

Comme $- \frac{1}{4}$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + \frac{1}{4}$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{8 x^{3} - 10 x^{2} - 7 x - 1}{x + \frac{1}{4}}$

Étape 6

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$- \frac{1}{4}$	$8$	$- 10$	$- 7$	$- 1$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(8)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$- \frac{1}{4}$	$8$	$- 10$	$- 7$	$- 1$

	$8$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(8)$ par le diviseur $(- \frac{1}{4})$ et placez le résultat de $(- 2)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 10)$ .

$- \frac{1}{4}$	$8$	$- 10$	$- 7$	$- 1$
		$- 2$
	$8$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- \frac{1}{4}$	$8$	$- 10$	$- 7$	$- 1$
		$- 2$
	$8$	$- 12$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 12)$ par le diviseur $(- \frac{1}{4})$ et placez le résultat de $(3)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 7)$ .

$- \frac{1}{4}$	$8$	$- 10$	$- 7$	$- 1$
		$- 2$	$3$
	$8$	$- 12$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- \frac{1}{4}$	$8$	$- 10$	$- 7$	$- 1$
		$- 2$	$3$
	$8$	$- 12$	$- 4$

Étape 6.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 4)$ par le diviseur $(- \frac{1}{4})$ et placez le résultat de $(1)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 1)$ .

$- \frac{1}{4}$	$8$	$- 10$	$- 7$	$- 1$
		$- 2$	$3$	$1$
	$8$	$- 12$	$- 4$

Étape 6.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- \frac{1}{4}$	$8$	$- 10$	$- 7$	$- 1$
		$- 2$	$3$	$1$
	$8$	$- 12$	$- 4$	$0$

Étape 6.9

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$8 x^{2} + - 12 x - 4$

Étape 6.10

Simplifiez le polynôme quotient.

$8 x^{2} - 12 x - 4$

Étape 7

Factorisez $4$ à partir de $8 x^{2} - 12 x - 4$ .

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Étape 7.1

Factorisez $4$ à partir de $8 x^{2}$ .

$(x + \frac{1}{4}) (4 (2 x^{2}) - 12 x - 4)$

Étape 7.2

Factorisez $4$ à partir de $- 12 x$ .

$(x + \frac{1}{4}) (4 (2 x^{2}) + 4 (- 3 x) - 4)$

Étape 7.3

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$(x + \frac{1}{4}) (4 (2 x^{2}) + 4 (- 3 x) + 4 (- 1))$

Étape 7.4

Factorisez $4$ à partir de $4 (2 x^{2}) + 4 (- 3 x)$ .

$(x + \frac{1}{4}) (4 (2 x^{2} - 3 x) + 4 (- 1))$

Étape 7.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (2 x^{2} - 3 x) + 4 (- 1)$ .

$(x + \frac{1}{4}) (4 (2 x^{2} - 3 x - 1))$

Étape 8

Factorisez $8 x^{3} - 10 x^{2} - 7 x - 1$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 8.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

Étape 8.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.125, \pm 0.5, \pm 0.25$

Étape 8.3

Remplacez $- 0.25$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 0.25$ est une racine du polynôme.

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Étape 8.3.1

Remplacez $- 0.25$ dans le polynôme.

$8 {(- 0.25)}^{3} - 10 {(- 0.25)}^{2} - 7 \cdot - 0.25 - 1$

Étape 8.3.2

Élevez $- 0.25$ à la puissance $3$ .

$8 \cdot - 0.015625 - 10 {(- 0.25)}^{2} - 7 \cdot - 0.25 - 1$

Étape 8.3.3

Multipliez $8$ par $- 0.015625$ .

$- 0.125 - 10 {(- 0.25)}^{2} - 7 \cdot - 0.25 - 1$

Étape 8.3.4

Élevez $- 0.25$ à la puissance $2$ .

$- 0.125 - 10 \cdot 0.0625 - 7 \cdot - 0.25 - 1$

Étape 8.3.5

Multipliez $- 10$ par $0.0625$ .

$- 0.125 - 0.625 - 7 \cdot - 0.25 - 1$

Étape 8.3.6

Soustrayez $0.625$ de $- 0.125$ .

$- 0.75 - 7 \cdot - 0.25 - 1$

Étape 8.3.7

Multipliez $- 7$ par $- 0.25$ .

$- 0.75 + 1.75 - 1$

Étape 8.3.8

Additionnez $- 0.75$ et $1.75$ .

$1 - 1$

Étape 8.3.9

Soustrayez $1$ de $1$ .

$0$

Étape 8.4

Comme $- 0.25$ est une racine connue, divisez le polynôme par $4 x + 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{8 x^{3} - 10 x^{2} - 7 x - 1}{4 x + 1}$

Étape 8.5

Divisez $8 x^{3} - 10 x^{2} - 7 x - 1$ par $4 x + 1$ .

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Étape 8.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$4 x$

$1$

$8 x^{3}$

$10 x^{2}$

$7 x$

$1$

Étape 8.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $8 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $4 x$ .

					$2 x^{2}$
	$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$

Étape 8.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			+	$8 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Étape 8.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $8 x^{3} + 2 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Étape 8.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$

Étape 8.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$2 x^{2}$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	-	$7 x$

Étape 8.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 12 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $4 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	-	$7 x$

Étape 8.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$12 x^{2}$	-	$3 x$

Étape 8.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 12 x^{2} - 3 x$

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$3 x$

Étape 8.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$4 x$

Étape 8.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$4 x$	-	$1$

Étape 8.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 4 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $4 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$4 x$	-	$1$

Étape 8.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$4 x$	-	$1$
							-	$4 x$	-	$1$

Étape 8.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 4 x - 1$

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$4 x$	-	$1$
							+	$4 x$	+	$1$

Étape 8.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
$4 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
			-	$8 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$4 x$	-	$1$
							+	$4 x$	+	$1$
										$0$

Étape 8.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$2 x^{2} - 3 x - 1$

Étape 8.6

Écrivez $8 x^{3} - 10 x^{2} - 7 x - 1$ comme un ensemble de facteurs.

$(4 x + 1) (2 x^{2} - 3 x - 1) = 0$

Étape 9

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$4 x + 1 = 0$

$2 x^{2} - 3 x - 1 = 0$

Étape 10

Définissez $4 x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 10.1

Définissez $4 x + 1$ égal à $0$ .

$4 x + 1 = 0$

Étape 10.2

Résolvez $4 x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 10.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$4 x = - 1$

Étape 10.2.2

Divisez chaque terme dans $4 x = - 1$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 10.2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x = - 1$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Étape 10.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 10.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Étape 10.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{4}$

Étape 10.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{4}$

Étape 11

Définissez $2 x^{2} - 3 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 11.1

Définissez $2 x^{2} - 3 x - 1$ égal à $0$ .

$2 x^{2} - 3 x - 1 = 0$

Étape 11.2

Résolvez $2 x^{2} - 3 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 11.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 11.2.2

Remplacez les valeurs $a = 2$ , $b = - 3$ et $c = - 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 1)}}{2 \cdot 2}$

Étape 11.2.3

Simplifiez

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Étape 11.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.3.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 11.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

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Étape 11.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 11.2.3.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $- 1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2 \cdot 2}$

Étape 11.2.3.1.3

Additionnez $9$ et $8$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

Étape 11.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{4}$

Étape 11.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.4.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 11.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

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Étape 11.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 11.2.4.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $- 1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2 \cdot 2}$

Étape 11.2.4.1.3

Additionnez $9$ et $8$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

Étape 11.2.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{4}$

Étape 11.2.4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$

Étape 11.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 11.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.5.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 11.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

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Étape 11.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 11.2.5.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $- 1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2 \cdot 2}$

Étape 11.2.5.1.3

Additionnez $9$ et $8$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

Étape 11.2.5.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{4}$

Étape 11.2.5.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

Étape 11.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{3 + \sqrt{17}}{4}, \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

Étape 12

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(4 x + 1) (2 x^{2} - 3 x - 1) = 0$ vraie.

$x = - \frac{1}{4}, \frac{3 + \sqrt{17}}{4}, \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

Étape 13

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = - \frac{1}{4}, \frac{3 + \sqrt{17}}{4}, \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

Forme décimale :

$x = - 0.25, 1.78077640 \dots, - 0.28077640 \dots$

Étape 14